有关整数根问题

一句话

求根公式里有一个根号：

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$$

系数都是整数时，想让 $x$ 是整数，根号必须先消失——$\Delta$ 得是一个完全平方数。这是整数根问题的第一道关卡；过了这道关，还要分子能被 $2a$ 整除。

先猜后证

方程 $x^2-6x+c=0$ 的两个根都是正整数。$c$ 有几种可能？

A$2$ 种B$3$ 种C$5$ 种D$6$ 种

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 韦达定理：不碰判别式

同一道题，换一条路。

一题多解

$m$ 是整数，方程 $x^2-mx+m+2=0$ 的两根都是整数。求 $m$。

判别式路线

$\Delta =(m-2{)}^2-12=k^2$，$(m-2-k)(m-2+k)=12$。 两因数同奇偶，只能是 $2\times 6$ 或 $(-6)\times (-2)$，得 $m=6$ 或 $m=-2$。验根都是整数。

代价通用；要会“平方差 + 拆因数”，还要验根。

韦达路线

设两根为 $x_1$、$x_2$：$x_1+x_2=m$，$x_1{x}_2=m+2$。两式相减消去 $m$：

$$x_1{x}_2-x_1-x_2=2\Rightarrow (x_1-1)(x_2-1)=3.$$

$3=1\times 3=(-1)\times (-3)$，所以两根是 $2,4$ 或 $0,-2$，对应 $m=6$ 或 $m=-2$。

代价直接得到根，不用验；要求首项系数是 1（或能整除）。

韦达路线的关键一步是“消去参数，再凑成两个括号的积等于常数”。这一步其实是因式分解里的添项。

第 2 站 · 能分解就先分解

图形加载中…

这个方程族的判别式是 $9m^2-12m+4=(3m-2{)}^2$——永远是完全平方数。可是带 ✓ 的格子只有四个。

原因一分解就清楚：

$$m{x}^2-(3m+2)x+6=(mx-2)(x-3),$$

根是 $3$ 和 $\frac{2}{m}$。要 $\frac{2}{m}$ 是整数，$m$ 必须整除 $2$：$m=\pm 1,\pm 2$。 还有那个带 ! 的格子：$m=0$ 时它根本不是二次方程。题目若说“二次方程”，$m=0$ 要排除；若只说“方程的根都是整数”，$m=0$（根是 $3$）反而要算上。

第 3 站 · 换个主元：把参数解出来

如果参数只以一次方出现，可以反过来把它当未知数。

第 4 站 · 估计：夹在两个相邻平方数之间

有时要证明的是“没有整数根”。办法是把 $\Delta$ 夹在两个相邻的完全平方数之间——中间没有别的平方数了。

图形加载中…

这里 $\Delta =m^2+4m+8=(m+2{)}^2+4$。当 $m$ 是正整数时，

$$(m+2{)}^2<\Delta <(m+3{)}^2,$$

因为 $(m+3{)}^2-(m+2{)}^2=2m+5>4$。所以 $\Delta$ 不是完全平方数，方程没有整数根（连有理根都没有）。 整排格子里唯一的 ✓ 在 $m=-2$：那时 $\Delta =4$，方程是 $x^2-2x=0$。

练一练

练习 1基础

方程 $x^2-7x+c=0$ 的两根都是正整数。$c$ 最大是多少？

检查

练习 2基础

方程 $x^2+mx+6=0$ 的两根都是整数。写出 $m$ 的所有可能值。

检查

练习 3提高

$m$ 是整数，方程 $x^2-mx+m+5=0$ 的两根都是整数。写出 $m$ 的所有可能值。

检查

练习 4提高

$m$ 是整数，关于 $x$ 的二次方程 $m{x}^2-(m+3)x+3=0$ 的两根都是整数。写出 $m$ 的所有可能值。

检查

练习 5挑战

$m$ 是整数，方程 $x^2-mx+3m-2=0$ 有整数根。写出 $m$ 的所有可能值。

检查