二次方程的整数根

一句话

系数是整数的二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，根是 $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ 。想让根是整数， $Δ$ 首先得是整数——也就是 $Δ$ 必须是完全平方数。完全平方数很稀少，这个条件一下子就把大多数可能筛掉了。

配合它的还有两件工具：韦达定理（整数根的和与积也是整数，可以分解因数），和换个主角（把参数当未知数解出来，看整除）。

筛一遍：x² + kx + 6 = 0 何时有整数根

第 1 / 5 步

k = 3
$Δ = 3^{2} - 24 = - 15 < 0$ ，连实数根都没有，更谈不上整数根。

$Δ = k^{2} - 24 = - 15$
k = 5
k = 6
k = 7
不用一个个试

第 1 站 · 判别式是完全平方数

上面的做法可以总结成三步：

算出 $Δ$ （它是参数的式子），设 $Δ = n^{2}$ ， $n$ 是非负整数。
把等式整理成“两个整数的积 = 一个具体的数”，常用平方差。
列出所有因数对，利用奇偶性相同再筛一遍，逐个解出参数，最后代回去检验根确实是整数。

先猜后证

$k$ 是正整数，方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 的两个根都是整数。这样的 $k$ 有几个？

2

个

3

个

4

个

9

个

先选定答案，才能看到结论。

第 2 站 · 韦达定理加因数分解

参数同时出现在两个系数里时， $Δ$ 往往不好看。这时让两个根自己出场：它们的和与积都能读出来，把参数消掉，剩下的是一个只含 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 的整数方程。

求所有整数 $k$ ，使 $x^{2} - k x + k + 3 = 0$ 的两个根都是整数。

先自己筛一筛，记下找到的

k

，再看下面的三种解法。

一题多解

求所有整数 $k$ ，使方程 $x^{2} - k x + k + 3 = 0$ 的两个根都是整数。

韦达定理

$x_{1} + x_{2} = k$ ， $x_{1} x_{2} = k + 3$ 。两式相减消去 $k$ ： $x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} = 3$ 。

两边加 $1$ ，左边就能分解： $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 4$ 。

$4$ 的整数因数对（不妨 $x_{1} \leq x_{2}$ ）： $(1, 4)$ 、 $(2, 2)$ 、 $(- 4, - 1)$ 、 $(- 2, - 2)$ 。

对应的根是 $(2, 5)$ 、 $(3, 3)$ 、 $(- 3, 0)$ 、 $(- 1, - 1)$ ，所以 $k = x_{1} + x_{2} = 7, 6, - 3, - 2$ 。

代价要会“凑”出一个能分解的式子，但计算最少。

判别式

$Δ = k^{2} - 4 (k + 3) = k^{2} - 4 k - 12 = (k - 2)^{2} - 16$ 。

设 $Δ = n^{2}$ （ $n \geq 0$ ）： $(k - 2 - n) (k - 2 + n) = 16$ ，两个因数奇偶相同，且前一个不大于后一个。

只能是 $2 \times 8$ 、 $4 \times 4$ 、 $(- 8) \times (- 2)$ 、 $(- 4) \times (- 4)$ ，对应 $k - 2 = 5, 4, - 5, - 4$ 。

所以 $k = 7, 6, - 3, - 2$ 。代回去，根都是整数。

代价路子最固定，但要再配一次方，还要注意奇偶。

把 k 当未知数

方程里 $k$ 只有一次。把它“解”出来： $k (x - 1) = x^{2} + 3$ 。

$x = 1$ 时左边是 $0$ 、右边是 $4$ ，不成立，所以 $x \neq = 1$ ， $k = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1} = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ 。

$k$ 是整数，所以 $x - 1$ 整除 $4$ ： $x - 1 = \pm 1, \pm 2, \pm 4$ ，即 $x = 2, 0, 3, - 1, 5, - 3$ 。

算出 $k = 7, - 3, 6, - 2, 7, - 3$ 。所以 $k = 7, 6, - 3, - 2$ （一根为整数、两根之和 $k$ 为整数，另一根自然也是整数）。

代价只在参数是一次的时候能用，但一用就很快。

第 3 站 · 能分解，就先分解

求所有整数 $k$ ，使 $k x^{2} + (k + 2) x + 2 = 0$ 的根都是整数。

算判别式： $Δ = (k + 2)^{2} - 8 k = (k - 2)^{2}$ 。它对每一个 $k$ 都是完全平方数！难道每个 $k$ 都行？点开几格看看。

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $Δ$ 是完全平方数的那些 $k$ ，根都是整数

老老实实把根算出来。左边可以十字相乘： $k x^{2} + (k + 2) x + 2 = (k x + 2) (x + 1)$ ，所以 $k \neq = 0$ 时两个根是 $- 1$ 和 $- \frac{2}{k}$ 。

$- \frac{2}{k}$ 是整数，当且仅当 $k$ 整除 $2$ ： $k = \pm 1, \pm 2$ 。（ $k = 0$ 时方程变成一次方程 $2 x + 2 = 0$ ，只有一个根 $- 1$ 。）

打 ✓ 的只有

k = \pm 1, \pm 2

；

k = 0

标着 ! ——它不是二次方程。

练一练

练习 1基础

求所有整数 $k$ ，使方程 $x^{2} + k x + 4 = 0$ 有整数根。（用逗号隔开。）

练习 2基础

$k$ 是正整数，方程 $x^{2} - 8 x + k = 0$ 的两个根都是整数，且两根不相等。求 $k$ 的最小值。

练习 3提高

求所有整数 $k$ ，使方程 $x^{2} - k x + 2 k - 1 = 0$ 的两个根都是整数。

练习 4挑战

$p$ 、 $q$ 都是素数，方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两个根都是正整数。求 $p + q$ 。

一句话

筛一遍：x² + kx + 6 = 0 何时有整数根

第 1 站 · 判别式是完全平方数

第 2 站 · 韦达定理加因数分解

韦达定理

判别式

把 k 当未知数

第 3 站 · 能分解，就先分解

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

Δ 是完全平方数，就断定根是整数

分解因数时只写了正的