素因数分析

一句话

每个大于 $1$ 的整数，都能写成素数的乘积，而且写法只有一种：

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1} .

所以一个整数的全部信息，就是一排指数。素因数分析的意思是：别盯着数本身，盯着这排指数。

$a$ 整除 $b$ ： $a$ 的每根柱子都不比 $b$ 的高。
完全平方数：每个指数都是偶数。
最大公因数取矮的，最小公倍数取高的。
素数：只有一根高度为 $1$ 的柱子，所以它只能拆成 $1 \times$ 自己。

先猜后证

$360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ 。它一共有多少个正因数？（提示：因数里 $2$ 的指数可以取 $0, 1, 2, 3$ 。）

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 素数与合数（卷六）

素数的柱子图最简单，所以“某个式子是素数”是很强的条件：只要式子能分解，就有一个因数被逼成 $\pm 1$ 。

例：求所有正整数 n，使 n² − 8n + 15 是素数

第 1 / 5 步

先分解
十字相乘： $15 = 3 \times 5$ ， $3 + 5 = 8$ 。

$n^{2} - 8 n + 15 = (n - 3) (n - 5)$
素数只有一种拆法
都是正数的情况
都是负数的情况
结论

第 2 站 · 算术基本定理（卷六）

两个数放在一起比柱子：每个素数那一组，矮的归最大公因数，高的归最小公倍数。

例：gcd(a, b) = 12，lcm(a, b) = 360，a ≤ b。这样的 (a, b) 有几对？

第 1 / 5 步

先分解两个已知数
$12 = 2^{2} \times 3$ ， $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ 。先看最简单的一对： $a = 12$ ， $b = 360$ 。

$g cd lcm = 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{0} = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$
一个素数一个素数地看
每个素数有 2 种分法
换一种分法看看
去掉重复

第 3 站 · 完全平方数（卷六）

完全平方数的柱子，每一根都是偶数高。不是平方数？看哪几根“落单”，补上就行。

例：最小的正整数 k 是多少，使 360k 是完全平方数？

第 1 / 4 步

看指数的奇偶
$360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ 。指数是 $3, 2, 1$ ： $2$ 和 $5$ 的指数是奇数，各有一块落单。

$2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}$
补上落单的
验证
为什么不能更小

反过来，“积是平方数”能不能推出“每个都是平方数”？拖一拖下面的 $a$ 、 $b$ ，找出规律。

12 \times 27 = 324 = 1 8^{2}

，但

12

、

27

都不是平方数。再试

a = 4

、

b = 25

。两种情况差在哪一栏？

当 $a$ 、 $b$ 互素时，没有哪个素数被两边共用，指数无法互相“凑偶”。这时 $ab$ 是平方数，才能推出 $a$ 、 $b$ 各自是平方数。比如相邻的正整数 $n$ 和 $n + 1$ 互素，如果 $n (n + 1)$ 是平方数， $n$ 和 $n + 1$ 就都是平方数——可两个正的平方数至少相差 $3$ 。所以 $n (n + 1)$ 永远不是完全平方数。

第 4 站 · 二次方程的整数根（卷二）

整数根的问题，常常能化成“两个整数的乘积等于一个具体的数”。这个数的素因数越少，可能性越少。

求所有整数 $k$ ，使方程 $x^{2} - k x + k + 6 = 0$ 的两个根都是整数。

例：x² − kx + k + 6 = 0 的两根都是整数

第 1 / 5 步

韦达定理
设两个整数根是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 。和是 $k$ ，积是 $k + 6$ 。

$x_{1} + x_{2} = k, x_{1} x_{2} = k + 6$
消去 k
7 是素数
别忘了负的
检验并作答

练一练

练习 1基础

$720$ 一共有多少个正因数？

练习 2提高

最小的正整数 $k$ 是多少，使 $84 k$ 是完全平方数？

练习 3挑战

求所有整数 $k$ ，使方程 $x^{2} - k x + k + 4 = 0$ 的两个根都是整数。（有两个答案，用逗号隔开。）

一句话

第 1 站 · 素数与合数（卷六）

例：求所有正整数 n，使 n² − 8n + 15 是素数

第 2 站 · 算术基本定理（卷六）

例：gcd(a, b) = 12，lcm(a, b) = 360，a ≤ b。这样的 (a, b) 有几对？

第 3 站 · 完全平方数（卷六）

例：最小的正整数 k 是多少，使 360k 是完全平方数？

第 4 站 · 二次方程的整数根（卷二）

例：x² − kx + k + 6 = 0 的两根都是整数

练一练

错误博物馆 · 本站展品

积是平方数，就说每个都是平方数

拆因数时忘了负数和 1

这条线路经过的站