一句话
两个整数相等，那么它们除以任何一个数 ，余数都相同。
反过来用：如果能找到一个 ，让左边不管怎么取值，都余不出右边的那个余数——方程就没有整数解。无穷多种可能，一张小小的余数表就查完了。
难点只有一个：选哪个 。常用的几张“通缉令”：
- 平方数：除以 只余 ；除以 只余 ；除以 只余 。
- 立方数：除以 只余 ；除以 只余 。
- 四次方数：除以 只余 ；除以 只余 。
先猜后证
一个完全平方数除以 ，余数可能有几种？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
偶数的平方 ，余 。奇数的平方 ，余 。只有这两种。
所以除以 余 或余 的数，一定不是完全平方数。下面每一站都在用这类事实。
第 1 站 · 同余（卷六）
余数表不用背，现场列一张就行。
例：11, 111, 1111, … 里有没有完全平方数？
第 1 / 4 步- 数太大，只看余数
这些数越来越大，没法一个个开方。换个问法：它们除以 余几？
第 2 站 · 剩余系（卷六）
平方看模 、模 。那立方呢？一个个试。
例：x³ + y³ = 2020 有整数解吗？
第 1 / 5 步- 先试模 2
立方不改变奇偶， 可以余 也可以余 。左边什么余数都凑得出，看不出矛盾。
为什么偏偏是 和 ？不用背。到“模运算实验室”翻一翻乘方表：换几个模，看 那一列在哪个模下出现的余数最少，就选它。
第 3 站 · 完全平方数（卷六）
系数本身，常常就是最好的模。
三个连续整数 的平方和是
它会不会是完全平方数？设它等于 ，就是问 有没有整数解。
例：m² − 3n² = 2 有整数解吗？
第 1 / 4 步- 顺手试模 4
平方数的老朋友模 ：左边能余 ，右边余 。对得上，看不出矛盾。注意，这不代表有解。
第 4 站 · 不定方程（卷六）
两个系数都很显眼时，各试一次。
例：15x² − 7y² = 9 有整数解吗？
第 1 / 5 步- 模 7：消去 7y²
除以 ， 消失， 和 同余。右边 余 。而 正好余 ——没有矛盾。
选模的顺序可以这样想：先试系数（让某一项消失），再试指数的老朋友（平方试 ；立方试 ；四次方试 ）。
练一练
完全平方数除以 ，余数一共有几种可能？
提示 · 方向
不用想很大的数。余数只和“这个数除以 余几”有关。
提示 · 方法
把 各平方一次，再除以 取余数。
提示 · 第一步
除以 分别余 。
完整解答
出现过的余数只有 ，共 种。特别地，奇数的平方除以 一定余 。
方程 没有整数解。在 这四个模里，只有一个能推出矛盾。是哪一个？
提示 · 方向
哪个模能让其中一项直接消失？
提示 · 方法
除以 ： 消失，只剩下 和右边的余数比较。
提示 · 第一步
模 时方程变成 。平方数除以 能余几？
完整解答
平方数除以 只余 ，不可能余 ，所以模 推出矛盾。其余三个都对得上：例如模 时取 偶、 奇，左边余 。
四次方数 除以 ，余数一共有几种可能？算出来以后，用它说明 没有整数解。
提示 · 方向
分 是偶数、奇数两种情况。
提示 · 方法
偶数：，。奇数：先用“奇数的平方除以 余 ”。
提示 · 第一步
奇数 ：，于是 ，除以 余 。
完整解答
余数只有 和 两种。于是三个四次方数之和除以 只能余 。而 ，余 ，对不上，所以方程没有整数解。