不定方程的常用解法

一句话

整数解的问题难在“可能性有无穷多”。三种常用的攻法，做的是同一件事——把无穷变成有限：

因式分解法：化成 $(\dots) (\dots) =$ 常数。一个整数的因数只有有限个。
估计法：用不等式把未知数关进一个有限的范围，再逐个检验。
同余法：选一个模，两边余数永远对不上——可能性直接变成零。

三招各出一次手

第 1 / 6 步

因式分解：先凑出乘积
$x y - 2 x - 3 y = 1$ 。左边像 $(x - 3) (y - 2)$ 展开后的前三项，只差一个常数 $6$ 。两边同时加 $6$ 。

$x y - 2 x - 3 y + 6 (x - 3) (y - 2) = 1 + 6 = 7$
有限个拆法
别忘了负的
估计：把解关进框里
框里逐个查
同余：一格不留

第 1 站 · 因式分解法

认出它：出现 $x y$ 加上 $x$ 、 $y$ 的一次项，或者平方差。做法：添一个常数凑成乘积，然后枚举因数——每种拆法解一个小方程组。

先猜后证

$x^{2} - y^{2} = 12$ 化成 $(x - y) (x + y) = 12$ 。 $12$ 的整数拆法（含负因数、分先后）共 $12$ 种，其中有几种能解出整数 $x$ 、 $y$ ？

先选定答案，才能看到结论。

第 2 站 · 估计法

认出它：平方和、倒数和，或者一边明显“长得比另一边快”。做法：排个大小顺序或者配方，得到不等式，把最小（或最大）的那个未知数限制在几个值之内。

一题多解

求正整数 $x \leq y$ ，使 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ 。

估计法

$\frac{1}{x} < \frac{1}{4}$ ，所以 $x > 4$ 。又 $x \leq y$ ，所以 $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$ ，于是 $\frac{2}{x} \geq \frac{1}{4}$ ，即 $x \leq 8$ 。

只需检验 $x = 5, 6, 7, 8$ ，算 $\frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{x}$ ：

$x = 5$ ： $\frac{1}{20}$ ， $y = 20$ ✓
$x = 6$ ： $\frac{1}{12}$ ， $y = 12$ ✓
$x = 7$ ： $\frac{3}{28}$ ， $y$ 不是整数 ✗
$x = 8$ ： $\frac{1}{8}$ ， $y = 8$ ✓

代价不用巧妙的变形；要逐个检验 4 个候选。

因式分解法

去分母： $4 x + 4 y = x y$ ，即 $x y - 4 x - 4 y = 0$ 。两边加 $16$ ：

(x - 4) (y - 4) = 16

$x \leq y$ 且都大于 $4$ ，所以 $x - 4 \leq y - 4$ 是正因数： $1 \times 16$ 、 $2 \times 8$ 、 $4 \times 4$ 。

得 $(x, y) = (5, 20), (6, 12), (8, 8)$ 。

代价要想到去分母后添 16；之后一步到位。

两种方法得到同样的三组解。能分解时，分解通常更快；分解不了时（比如三个未知数的倒数和），估计法照样能用。

第 3 站 · 同余法

认出它：题目问“证明没有整数解”，或者方程里有平方、立方。做法：选一个让某些项消失、让幂的余数尽量少的模。

x^{2} - 3 y^{2} = 2

。把模从

2

拖到

9

：哪些模一格都不留？哪些模白忙一场？

模 $3$ 和模 $8$ 都能一招制敌（它们的倍数 $6$ 、 $9$ 当然也行）；模 $2, 4, 5, 7$ 都留下了幸存的格子。常用的选法：

方程里有	先试的模	因为
平方	$3$ 、 $4$ 、 $8$	$x^{2}$ 只余 $0, 1$ （模 $3$ 、 $4$ ）或 $0, 1, 4$ （模 $8$ ）
立方	$7$ 、 $9$	$x^{3}$ 只余 $0, \pm 1$
某个系数是 $k$ 的倍数	$k$	那一项直接消失

怎么选

没有万能的一招。在上面的操作台里把四个方程和三种攻法都配一遍，你会得到这样一张表：

	因式分解	估计	同余
$x y - 2 x - 3 y = 1$	✓ 四组解	圈不住	只能缩小范围
$x^{2} - y^{2} = 12$	✓ 四组解	圈不住	只能缩小范围
$x^{2} + x y + y^{2} = 19$	分不开	✓ 121 格里查	只能缩小范围
$x^{2} - 3 y^{2} = 2$	分不开	圈不住	✓ 无解

练一练

练习 1基础

$x y + x + y = 20$ 有几组正整数解 $(x, y)$ ？

练习 2基础

求所有正整数 $x$ ，使得存在正整数 $y$ 满足 $x^{2} - y^{2} = 45$ 。

练习 3提高

正整数 $x \leq y \leq z$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 。这样的 $(x, y, z)$ 有几组？

练习 4挑战

证明： $x^{3} + y^{3} = 2020$ 没有整数解。

一句话

三招各出一次手

第 1 站 · 因式分解法

第 2 站 · 估计法

估计法

因式分解法

第 3 站 · 同余法

怎么选

练一练

错误博物馆 · 本站展品

拆因数时忘了负因数

同余没有矛盾，就说方程有解

估计出范围，却不逐个检验