- §1.1整除的概念与基本性质把 n 个点按每行 d 个排队：排得成长方形，就是 d 整除 n；多出来的那几个，就是余数。
- §1.2素数与合数用筛子一轮轮划掉倍数，剩下的就是素数；而且只要筛到 √N 就可以停手。
- §1.3最大公因数与最小公倍数在长方形里不断切下最大的正方形——切到铺满时，最小那种正方形的边长就是最大公因数。
- §1.4算术基本定理每个大于 1 的整数都有唯一的“素数条形码”；公因数取矮的柱子，公倍数取高的柱子。
- §2.1同余的概念与基本性质在只有 m 个刻度的钟面上，相差 m 的倍数的数落在同一格——它们同余，做加减乘时可以互相替换。
- §2.2剩余系及其应用每个剩余类派一个代表，就是完全剩余系；乘上一个与模互素的数，只是让代表们重新排了个队。
- §2.3费马小定理及其应用模素数 p 时，从 1 出发不断乘 a，走 p−1 步一定回到 1。
- §2.4奇数与偶数找一个怎么操作都不变的奇偶性：起点和终点的奇偶对不上，就一定做不到。
- §2.5完全平方数平方数被 3、4、8 除，有些余数永远不出现——选对模，就能一眼看出一个方程无解。
- §3.1一次不定方程（组）直线 ax+by=c 穿不穿过整点，只看 gcd(a,b) 整不整除 c；穿过的话，整点等距排开。
- §3.2不定方程的常用解法整点有无穷多个。因式分解、估计、同余三招，各自把“无穷多种可能”砍成有限种，甚至零种。
- §3.3勾股方程过 (−1,0) 作斜率为有理数的直线，与单位圆的另一个交点就是一组勾股数。