勾股方程

观察

$m = 2$ 、 $n = 1$ 给出 $(3, 4, 5)$ 。再试 $m = 3$ 、 $n = 2$ 和 $m = 4$ 、 $n = 1$ ，记下得到的勾股数。
试 $m = 3$ 、 $n = 1$ ，再试 $m = 4$ 、 $n = 2$ 。这两次得到的三个数有公因数。 $m$ 、 $n$ 各出了什么问题？
直线的斜率 $\frac{n}{m}$ 是有理数时，交点 $P$ 的两个坐标都是有理数。把 $P$ 的坐标通分，分子分母正好是哪三个数？
让 $n$ 紧挨着 $m$ （比如 $m = 9$ 、 $n = 8$ ）：直线很陡，三角形又细又高。这时斜边比长直角边大多少？

满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的正整数 $(a, b, c)$ 叫勾股数；三个数没有大于 $1$ 的公因数时，叫本原勾股数。两边同除以 $c^{2}$ ：

a^{2} + b^{2} = c^{2} ⟺ (\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1.

所以找勾股数，就是在单位圆上找坐标都是有理数的点。

先猜后证

本原勾股数 $(a, b, c)$ 的两条直角边 $a$ 、 $b$ ，奇偶性是怎样的？

都是奇数都是偶数一奇一偶三种情况都可能

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

Break it

结论： $m$ 、 $n$ 互素时， $(m^{2} - n^{2}, 2 mn, m^{2} + n^{2})$ 是本原勾股数

$m = 4$ ， $n = 1$ ：互素，一偶一奇。得到 $(15, 8, 17)$ ，三个数的最大公因数是 $1$ 。

把勾股方程稍微改一下： $x^{2} + y^{2} = 3 z^{2}$ 。它有没有正整数解？

第 1 / 6 步

假设有一组解
假设 $(x, y, z)$ 是一组正整数解。 $z$ 是某个正整数，不妨先当它是 $54$ 。

$x^{2} + y^{2} = 3 z^{2}$
模 3
z 也逃不掉
得到一组更小的解
可以一直做下去？
换哪个 z 都一样

递降法的套路：假设有解 → 造出一组严格更小的正整数解 → 正整数不能无限变小 → 矛盾。 也可以换一种说法：取 $z$ 最小的那组解，结果造出了 $z$ 更小的解。

练习 1基础

取 $m = 5$ 、 $n = 2$ ，写出公式给出的三个数。

练习 2基础

一组本原勾股数的斜边是 $25$ 。较短的直角边是多少？

练习 3提高

三边长都是正整数、并且有一条直角边等于 $12$ 的直角三角形，一共有几个？

练习 4挑战

用无穷递降法证明： $x^{3} = 2 y^{3}$ 没有正整数解。（也就是说， $32$ 不是有理数。）