一句话
实数是连成一片的，整数却是一格一格的： 和 之间没有整数， 和 之间没有平方数。
所以对整数来说，不等式有时和等式一样厉害：
- 把一个量严格夹在两个相邻的平方数之间，它就不是平方数。
- 证明某个未知数不超过某个数，剩下的有限种情况逐个去试。
“估计”就是用不等式把无穷多种可能，压缩成手指头数得过来的几种。
先猜后证
是正整数。 可能是完全平方数吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
时，。
它被严格夹在 和 之间，而这两个平方数是相邻的，中间没有别的平方数。回到页面顶上的图：把 从 拖到 ，每一格都是“夹住了”。只有 是例外——那时它等于 ，正好踩在上界上。
第 1 站 · 不定方程的常用解法（卷六）
改一个常数，故事就不一样了：这回有解，而且解藏在“没夹住”的地方。
例：求方程 y² = x² + x + 7 的所有正整数解
第 1 / 6 步- 它离 x² 很近
右边比 大一点。会不会夹在 和下一个平方数 之间？先看 ：，夹住了。
第 2 站 · 方程的整数解（卷二）
没有“相邻平方数”可夹的时候，换一个思路：给未知数排队，最小的那个一定大不了。
例：正整数 x ≤ y ≤ z 满足 x + y + z = xyz，求所有解
第 1 / 5 步- 乘积长得比和快
三个数都很大时， 远远大于 。所以解只可能出现在小数里。怎么把“小”说清楚？
“不妨设 ”不是偷懒：方程对三个字母是对称的，排好队以后，才有“最大的”可以用来放缩。
第 3 站 · 勾股方程（卷六）
整数直角三角形里也有“一格一格”：斜边 比直角边 大，而它们都是整数，所以 。
先猜后证
直角三角形三边都是正整数，一条直角边是 。另一条直角边最大可能是多少？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
设另一条直角边是 ，斜边是 ，则 。因为 ，
所以 。而 真的可以：。
例：一条直角边为 9 的整数直角三角形有哪些？
第 1 / 5 步- 写成平方差
设另一条直角边 ，斜边 。
第 4 站 · 二次函数与整数根（卷三）
二次方程有整数根，判别式必须是完全平方数。判别式是参数的二次式——正好拿相邻的平方数去夹。
例：k 是正整数，方程 x² − kx + k = 0 有整数根，求 k
第 1 / 6 步- 判别式要是平方数
根是 。要它是整数， 必须是完全平方数。
四站的套路是同一个：先用不等式圈出一个有限的范围，再老老实实把范围里的情况查完。两步缺一不可。
练一练
正整数 满足 。求 。
提示 · 方向
夹在哪两个相邻的平方数之间？
提示 · 方法
从 开始往上试，直到超过 。
提示 · 第一步
，，。
完整解答
，所以 。顺便知道： 不是完全平方数。
求所有正整数 ，使 是完全平方数。（用逗号隔开。）
提示 · 方向
它比 大一点。什么时候比 小？
提示 · 方法
解不等式 ，得到“夹得住”的范围；范围之外逐个检验。
提示 · 第一步
，即 。所以只需要检验 。
完整解答
到 时式子的值依次是 。其中只有 （）和 （）是平方数。所以 或 。
正整数 满足 。求 的所有可能值。（用逗号隔开。）
提示 · 方向
是较小的那个。它能有多大？
提示 · 方法
把右边放大：。于是 。
提示 · 第一步
。如果 ，那么 ，只能 、。所以 只可能是 。
完整解答
：，不可能。：，。：，。所以 或 ， 的可能值是 和 。