完全平方数

观察

整数的平方 $0, 1, 4, 9, 16, \dots$ 叫完全平方数。要知道它们模 $m$ 的余数，只要把 $x = 0, 1, \dots, m - 1$ 各算一次（剩余系那一站的办法）。最常用的三行，值得背下来：

x^{2} \equiv 0, 1 (mod 3) x^{2} \equiv 0, 1 (mod 4) x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)

先猜后证

奇数的平方被 $8$ 除，余数有几种可能？

1

种

2

种

3

种

4

种

先选定答案，才能看到结论。

余数表最大的用处：证明一个方程没有整数解。难处只有一个——选哪个模。

第 1 / 5 步

先试模 3
平方数模 $3$ 余 $0$ 或 $1$ ，两个平方数相加可以余 $0, 1, 2$ ——什么都可能。右边 $2023$ 余 $1$ 。没有矛盾。

$x^{2} + y^{2} 2023 \in {0, 1, 2} \equiv 1 (mod 3)$
再试模 5
换成模 4
右边偏偏余 3
为什么是 4

条形码。 由算术基本定理， $n$ 是完全平方数 $⟺$ 标准分解式里每个指数都是偶数。所以平方数的因数个数 $(a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots$ 是奇数，而且只有平方数才这样。

夹逼。 相邻的两个平方数 $n^{2}$ 和 $(n + 1)^{2}$ 之间没有别的平方数。所以只要证明一个数严格夹在它们中间，它就不是平方数。例如 $n > 0$ 时

n^{2} < n^{2} + n + 1 < n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2},

所以 $n^{2} + n + 1$ 永远不是完全平方数。

Break it

结论： $ab$ 是完全平方数时， $a$ 和 $b$ 各自都是完全平方数

$a = 4$ ， $b = 9$ ，互素：每个素数的柱子只出现在一边。 $ab = 36$ 的每个指数是偶数，于是 $a$ 、 $b$ 各自的每个指数也只能是偶数。

练习 1基础

完全平方数的个位数字不可能是哪几个？全部写出来。

练习 2基础

数列 $11, 111, 1111, 11111, \dots$ 中有多少个完全平方数？

练习 3提高

求正整数 $n$ ，使 $n^{2} + n + 6$ 是完全平方数。

练习 4挑战

证明：被 $8$ 除余 $7$ 的正整数，不能写成三个整数的平方和。