观察
- ：把 从 拖到 。箭头有没有撞过车？
- ：比较 和 。再把 从 试到 ，记下所有“不撞车”的 。
- 撞车的时候看“到达的位置”：、 时只到了 个位置， 时到了几个？它和 有什么关系？
- 撞车时，被射中的位置上的数有什么共同点？（、：。）
从模 的每个剩余类里各取一个数，得到的 个数叫模 的一个完全剩余系。换句话说： 个整数，两两不同余。
模 的完全剩余系可以是 ，也可以是 ，甚至是 。任意连续 个整数都是一个完全剩余系。
先猜后证
随便写 个整数。下面哪句话一定成立？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
模 只有 个剩余类（ 个抽屉）。 个数放进去，一定有两个落在同一类，它们的差就是 的倍数。
另外两句都可以失败：取 （全部余 ），任何两个的和都余 ，也没有一个是 的倍数。
个整数中必有两个模 同余——剩余类就是现成的抽屉。
为什么
(a, m) = 1 时，乘以 a 只是重新排队
第 1 / 6 步- 要证什么
模 ，乘以 ：七个余数 各射出一支箭头。我们要证：只要 ， 支箭头的落点两两不同。
用处：只查一个周期
一个只涉及加、减、乘的式子，把 换成同余的数，结果的余数不变。所以要知道它模 的全部可能，只需把 换成一个完全剩余系里的 个数，逐个算一遍。
比如 被 除可能余几？只要查 ：
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论： 跑遍模 的完全剩余系时， 也跑遍 ← 还成立吗？
，。九支箭头，九个落点，一个不重、一个不漏。
，，。哪些位置一支箭头都没有？
永远是 的倍数，只能落在 。每个落点被 支箭头射中，其余六个位置空着。 在机器里换别的 ：模 时哪些 是好的？
练一练
求 中满足 的 。
提示 · 方向
，所以这样的 恰有一个。
提示 · 方法
把 对 依次算余数，或者找一个比 的倍数多 的 的倍数。
提示 · 第一步
。
完整解答
，所以 。
取 中的哪些数时， 是模 的完全剩余系？
提示 · 方向
回到操作台，。
提示 · 方法
条件是 。
提示 · 第一步
，所以 不能是 或 的倍数。
完整解答
。
至少要取多少个整数，才能保证其中一定有两个数的差能被 整除？
提示 · 方向
差被 整除，就是模 同余。
提示 · 方法
模 有 个剩余类。最坏的情形是每一类各取一个。
提示 · 第一步
取 这 个数时，没有两个数同余。所以 个不够。
完整解答
个数可以两两不同余； 个数放进 个剩余类，必有两个同类，差被 整除。答案是 。
证明：任意给出 个整数，一定能从中选出 个，使它们的和被 整除。
提示 · 方向
只看每个数被 除的余数：、 或 。
提示 · 方法
分两种情况：三种余数都出现了；或者没有都出现。
提示 · 第一步
三种余数都出现时，各取一个：。否则 个数挤在至多两个类里。
完整解答
若余数 都出现，各取一个，和 。否则 个数落在至多 个剩余类里，必有一类至少含 个数；取这 个，它们余数相同，设为 ，和 。