算术基本定理

观察

算术基本定理 每个大于 $1$ 的整数都能写成素数的乘积；如果不计较素因数的先后顺序，这种写法只有一种。

把相同的素数收在一起，就是标准分解式 $n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ 。那一串指数，就是这个数独一无二的条形码。于是：

d ∣ n ⟺ d 的每个指数都不超过 n 对应的指数

公因数取 $min$ 、公倍数取 $max$ ，都是这一句话的直接推论。

先猜后证

$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ 。它一共有多少个正因数？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

因数都长什么样
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ 。它的因数只可能含素因数 $2$ 和 $3$ ，而且指数不能超标： $d = 2^{i} \times 3^{j}$ ， $0 \leq i \leq 3$ ， $0 \leq j \leq 2$ 。

$d = 2^{i} \times 3^{j}$
沿着 ×2 走
沿着 ×3 走
两个决定互不干扰
整除就是“在下方”

“只有一种写法”听起来理所当然。它其实依赖于我们在全体正整数里做乘法。

Break it

结论：把一个数分解成“不能再分”的数，结果只有一种

在普通的正整数里， $60$ 无论怎么拆，拆到底都是 $2 \times 2 \times 3 \times 5$ 。在因数格里，从 $1$ 走到 $60$ 的每一条路，用到的三种线的条数都一样。

练习 1基础

$1400 = 2^{a} \times 5^{b} \times 7^{c}$ 。求 $a + b + c$ 。

练习 2基础

$360$ 有多少个正因数？

练习 3提高

恰好有 $10$ 个正因数的最小正整数是多少？

练习 4挑战

求最小的正整数 $n$ ，使 $360 n$ 是一个完全立方数。