奇数与偶数

一句话

奇偶性就是模 $2$ 的余数，是最粗的一把筛子：只把整数分成两类。它的用法几乎总是同一个套路——

找一个量，无论怎么操作，它的奇偶都不变（或者每步必变）。如果起点和目标的奇偶对不上，目标就永远达不到。

需要的全部知识只有三条：

奇 ± 奇 = 偶，偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 偶 = 奇；所以加一个数和减同一个数，对奇偶的影响一样。
一堆数相加，和的奇偶只由其中奇数的个数决定。
乘积是奇数 $⟺$ 每个因数都是奇数。

±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 为什么凑不出 0

第 1 / 5 步

全取加号
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ ，是奇数。

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$
改一个符号
再改两个
抓住不变的东西
奇偶放行的时候

第 1 站 · 操作：翻杯子

先猜后证

$7$ 只杯子口朝上。每次必须恰好翻转 $4$ 只。能不能经过若干次，让 $7$ 只杯子全部口朝下？

能不能

先选定答案，才能看到结论。

第 2 站 · 棋盘：黑白染色

把棋盘的格子按“行号 + 列号”的奇偶染成黑白两色，相邻的两格总是一黑一白。染色就是把奇偶性画在了图上。

8 \times 8

的棋盘去掉一对对角，剩

62

格。

31

块

1 \times 2

的骨牌能铺满吗？再试试去掉别的格子。

去掉的两个对角同色。剩下 $30$ 个一种颜色、 $32$ 个另一种颜色，而每块骨牌必定盖住一黑一白—— $31$ 块骨牌需要 $31$ 黑 $31$ 白。所以铺不满，不必动手尝试。

第 3 站 · 方程：两种写法

一题多解

证明： $x^{2} - y^{2} = 2022$ 没有整数解。

奇偶分析

$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ 。因为 $(x + y) - (x - y) = 2 y$ 是偶数， $x - y$ 与 $x + y$ 同奇偶。

都是奇数：乘积是奇数，不等于 $2022$ 。
都是偶数：乘积是 $4$ 的倍数。但 $2022 = 4 \times 505 + 2$ 不是 $4$ 的倍数。

两种情况都不行，所以没有整数解。

代价不用任何工具，但要想到分解成 (x−y)(x+y)。

模 4

平方数被 $4$ 除只可能余 $0$ 或 $1$ （下一站的主题）。所以 $x^{2} - y^{2}$ 被 $4$ 除只可能余 $0, 1, 3$ ，而 $2022$ 余 $2$ 。

代价一步到位，但要先知道平方数模 4 只余 0 或 1。

两种写法说的是同一件事：模 $4$ 不过是把“奇偶”再细分了一层。奇偶分析不够用的时候，下一步就是换一个更合适的模。

练一练

练习 1基础

$1 + 2 + 3 + \dots + 50$ 是奇数还是偶数？（不要把和算出来。）

练习 2基础

在 $1, 2, 3, \dots, 10$ 每个数前面任意添上 $+$ 或 $-$ ，再算出结果。能得到的最小的非负结果是多少？

练习 3提高

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ 是 $1, 2, \dots, 9$ 的任意一种排列。证明：乘积 $(a_{1} - 1) (a_{2} - 2) \dots (a_{9} - 9)$ 一定是偶数。

练习 4挑战

$5 \times 5$ 的方格表，每格里有一只甲虫。一声哨响，每只甲虫都爬到与它有公共边的相邻格子里。证明：哨响之后一定有空格。

一句话

±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 为什么凑不出 0

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奇偶分析

模 4

练一练

错误博物馆 · 本站展品

奇偶对得上，就以为一定做得到

以为和与差的奇偶可以不同