整除的概念与基本性质

观察

把 $d$ 从 $1$ 慢慢拖到 $12$ 。哪几个 $d$ 让余数变成 $0$ ？对照下面那一排“ $24$ 的因数”。
固定 $d = 6$ ，把 $n$ 一个一个加大。每隔几个数，才出现一次“正好排满”？
把 $n$ 调到 $13$ ，再调到 $1$ 。这时还有几个 $d$ 能排成长方形？
$n = 24$ 时， $d = 4$ 排出 $6$ 行， $d = 6$ 排出 $4$ 行：因数总是成对出现。把 $n$ 调到 $36$ ，哪个 $d$ 是自己和自己配对的？

能排成长方形，说的就是下面这件事。

定义设 $a$ 、 $b$ 是整数， $a \neq = 0$ 。如果存在整数 $q$ 使得 $b = a q$ ，就说 $a$ 整除 $b$ ，记作 $a ∣ b$ 。这时 $a$ 是 $b$ 的因数， $b$ 是 $a$ 的倍数。排不成时记作 $a ∤ b$ 。

排不成的时候也不会乱：总能排满 $q$ 行，再多出 $r$ 个，而且 $0 \leq r < a$ 。这就是带余除法 $b = a q + r$ 。整除，就是余数 $r = 0$ 的情形。

先猜后证

已知 $7 ∣ (a + b)$ ，并且 $7 ∣ a$ 。那么 $7 ∣ b$ 吗？

一定整除不一定一定不整除

先选定答案，才能看到结论。

为什么两个 $d$ 的倍数加起来还是 $d$ 的倍数？把两堆点摞在一起看。

第 1 / 5 步

再记两条同样靠“排队”就能看懂的性质：

传递性： $a ∣ b$ 且 $b ∣ c$ ，则 $a ∣ c$ 。（每行 $a$ 个能排满 $b$ ，而 $c$ 又是若干个 $b$ 。）
大小： $a ∣ b$ 且 $b \neq = 0$ ，则 $∣ a ∣ \leq ∣ b ∣$ 。所以一个非零整数只有有限个因数——这是后面解不定方程的命根子。

Break it

结论： $a ∣ b c$ 时，一定有 $a ∣ b$ 或 $a ∣ c$

取 $a = 5$ ， $b = 4$ ， $c = 15$ 。 $b c = 60$ 。把 $n$ 依次拖到 $4$ 、 $15$ 、 $60$ ： $5$ 整除 $60$ ，它也确实整除其中一个因数 $15$ 。

练习 1基础

在 $1, 2, \dots, 100$ 中，能被 $7$ 整除的数有多少个？

练习 2提高

求所有正整数 $n$ ，使得 $n ∣ (n + 12)$ 。

练习 3提高

$a$ 、 $b$ 是整数，且 $7 ∣ (3 a + b)$ 。证明： $7 ∣ (a + 5 b)$ 。

练习 4挑战

求最大的正整数 $n$ ，使得 $(n + 3) ∣ (n^{2} + 19)$ 。