放缩 · 看得见的小蓝本

一句话

n^{2} < n^{2} + n + 1 < (n + 1)^{2} (n \geq 1)

有些量很难直接算清楚，但可以把它夹在两个好算的量之间。在实数里，夹住只是“大概知道”；在整数里，夹得够紧就等于“完全知道”——相邻两个平方数之间没有别的平方数， $2$ 和 $4$ 之间只有 $3$ 。

例：n 是正整数，n² + n + 1 能是完全平方数吗？

第 1 / 6 步

先算一个
$n = 3$ ： $n^{2} + n + 1 = 13$ ，落在 $9$ 和 $16$ 之间。

$9 < 13 < 16$
再算一个
左边为什么成立
右边为什么成立
结论
别忘了 n = 0

先猜后证

正整数 $x \leq y \leq z$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 。 $x$ 最大可能是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 方程的整数解（卷二）

例：求所有正整数 x ≤ y ≤ z，使 1/x + 1/y + 1/z = 1

第 1 / 6 步

x 不能太大
试 $x = 4$ ：三个分数都不超过 $\frac{1}{4}$ ，加起来最多 $\frac{3}{4}$ ，凑不到 $1$ 。所以 $x \leq 3$ 。

$1 \leq \frac{3}{x} \Rightarrow x \leq 3$
x = 2
x = 2, y = 3
x = 2, y = 4
x = 3
全部找到

第 2 站 · 二次函数的最值（卷三）

配方之后扔掉一个非负的平方项，就是最简单的放缩： $- (x - 2)^{2} \leq 0$ 。

例：两个正数的和是 4，它们的积最大是多少？

第 1 / 4 步

写成一个字母
设一个数是 $x$ ，另一个就是 $4 - x$ （ $0 < x < 4$ ）。积是 $x (4 - x)$ 。

$P = x (4 - x) = - x^{2} + 4 x$
配方
扔掉平方项
等号取得到吗

第 3 站 · 不定方程（卷六）

夹住的范围里有平方数时，放缩把方程变成了几个一次方程。

例：求正整数 x、y，使 y² = x² + x + 7

第 1 / 5 步

下界
$x^{2} + x + 7$ 显然比 $x^{2}$ 大。

$x^{2} < x^{2} + x + 7$
上界
中间只有两个平方数
y = x + 1
y = x + 2

第 4 站 · 组合最值（卷七）

求“最多能放几个”，答案也是夹出来的：论证从上面压（不可能超过多少），构造从下面顶（确实能做到多少）。两边碰头，就是答案。

例：5×5 的棋盘上放棋子，任何两枚不能在有公共边的格子里。最多放几枚？

第 1 / 4 步

先自己试
点格子放棋子，相邻（有公共边）的格子不能都放。你能放到几枚？
上界：把棋盘切成小块
下界：真的放出 13 枚
两边碰头

练一练

练习 1基础

正整数 $x \leq y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ 。这样的 $(x, y)$ 有几组？

练习 2提高

$n$ 是正整数， $n^{2} + 3 n + 5$ 是完全平方数。求 $n$ 。

练习 3挑战

正整数 $x \leq y \leq z$ 满足 $x + y + z = x y z$ 。求 $z$ 。

错误博物馆 · 本站展品

离站之前，看看别人在这里踩过的坑。去博物馆看全部展品 →

展品

放过了头

要证

\frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < \frac{3}{4}

。因为

\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{( k - 1 ) k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

，所以左边

< 1 - \frac{1}{n} < 1

，证毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　证出来的是“小于 $1$ ”，可题目要的是“小于 $\frac{3}{4}$ ”。 $1$ 比 $\frac{3}{4}$ 大，这个界太松，什么也没说明。问题出在第一项：把 $\frac{1}{4}$ 放大成了 $\frac{1}{2}$ ，一下子就多扔了 $\frac{1}{4}$ 。

第一项不放，从第二项开始放：左边

< \frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}) < \frac{3}{4}

。

「放缩太松，就少放几项」

展品

夹不住的小情况没单独看

因为

n^{2} < n^{2} + n + 1 < (n + 1)^{2}

，所以对任何非负整数

n

，

n^{2} + n + 1

都不是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　右边的不等式等价于 $n > 0$ 。 $n = 0$ 时 $n^{2} + n + 1 = 1 = (n + 1)^{2}$ ，根本没被夹住——而 $1$ 恰恰是完全平方数。

n \geq 1

时被严格夹在相邻两个平方数之间，不是平方数；

n = 0

单独检查，得到

1 = 1^{2}

。

「不等式从哪里开始成立，就从哪里开始用」

放缩

一句话

第 1 站 · 方程的整数解（卷二）

第 2 站 · 二次函数的最值（卷三）

第 3 站 · 不定方程（卷六）

第 4 站 · 组合最值（卷七）

练一练

错误博物馆 · 本站展品

这条线路经过的站