一句话
“最多是 M”是两句话：① 真的能做到 M（给出构造）；② 不可能超过 M（给出论证）。 少了哪一句，都只是猜。
把两句话画在一把尺子上：构造从左边往右推，论证从右边往左压，中间是“还不知道”的地带。两个箭头碰在一起，题才算解完。
6×6 棋盘上最多放几个互不相邻的王
第 1 / 5 步 -
先随手摆 随便摆 4 个，互不相邻。于是我们知道：答案至少是 4。构造每进一步，左边的箭头往右走一步。
4≤M
-
第一个论证：按行切
-
摆得更整齐
-
更紧的论证：切成 2×2
-
夹住了
论证常用的办法是从局部到整体：把整体切成小块，每一小块里“最多几个”一眼就能看出来，再加起来。切法就是抽屉原理里的“造抽屉”。
先猜后证
换成 5×5 的棋盘。最多能放几个互不相邻的王？
个
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
5×5 切不成整齐的 2×2，但可以切成 4 个 2×2、4 个 1×2（或 2×1）和 1 个单格，一共还是 9 块，每块最多 1 个王。而第 1、3、5 行与第 1、3、5 列的 9 个交叉格正好放得下 9 个。棋盘小了，答案却没变。
下面四站，问题不同，“两头夹”的办法完全一样。
第 1 站 · 棋盘：象
象沿斜线走。5×5 的棋盘上，最多放几个互不攻击的象？
先摆。然后试三种切法：按行切几乎没用；按斜线切得到一个上界；再细一点，还能压掉 1。
“斜线，两个角并成一块”：左下角和右上角各自是一条只有 1 格的斜线，但它们俩在另一个方向的同一条斜线上，会互相攻击，所以合起来也只能放 1 个。
沿同一方向的斜线有 9 条，每条最多 1 个象，上界是 9。可是其中两条只有一格——就是两个对角——而这两格互相攻击，不能同时用。上界压到 8。构造：第一行放满 5 个，最后一行放中间 3 个。
第 2 站 · 数集：差不能是 4
从 1∼16 里选数，任何两个数的差都不等于 4。最多能选几个？
有两种分法都能把上界压到同一个数。它们各自把哪些数关在了一起？
把相差 4 的数配对：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)，(9,13),…,(12,16)，共 8 对，每对最多选 1 个，所以最多 8 个。构造：1,2,3,4 和 9,10,11,12。
第 3 站 · 数集：不许有两倍
从 1∼16 里选数，不许出现一个数是另一个数的 2 倍。最多能选几个？
先猜后证
先猜：最多能选几个？（“全选奇数”能选 8 个，还能更多吗？）
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
把数按“翻倍链”分开：1→2→4→8→16，3→6→12，5→10，7→14，以及 9,11,13,15 各自一条。一条链上相邻的两个不能同时选，所以长为 5,3,2,2 的链最多选 3,2,1,1 个，四个单独的数各选 1 个：
3+2+1+1+4=11.构造就照着链去选：1,4,16；3,12；5；7；9,11,13,15。在下面摆出来，看尺子合上。
这一次，好的抽屉里“最多能挑”的个数不都是 1——抽屉不必只装一个，只要每个抽屉的容量算得清。第 4 站 · 反过来：最少要几个
求最小值时，方向正好反过来：构造说“这么少就够了”，论证说“再少不行”。
一个卫兵能看住自己站的那格和周围一圈。看住整个 6×6 的院子，最少要几个卫兵？
先放卫兵把院子看满，越少越好。再切到“放证人格”：挑几个格子，让任何位置的卫兵都没法同时看到其中两个。
四个角就是很好的证人：能看到左上角的卫兵只能站在左上的 2×2 里，他离其他三个角都太远。四个角各需要一个不同的卫兵，所以至少 4 个。而站在第 2、第 5 行与第 2、第 5 列交叉处的 4 个卫兵，正好各管一个 3×3 的区域，看住了全部 36 格。
如果上界没人接得住
结论：这个上界就是答案 ← 还成立吗？
切成 2×2 的方块，上界是 9。摆出 9 个王，尺子合上。
只允许“按行切”：上界是 18。试着摆出 18 个王——或者至少超过 9 个。
尺子上的两个箭头停在 9 和 18，中间的空白怎么也合不上。“M≤18”是一句真话，却不是答案：它只说明这个论证不够好，得换一种切法。
练一练
7×7 的棋盘上，最多能放多少个互不相邻（包括斜着相邻）的王？
提示 · 方向两件事：摆出来，再证明不能更多。先想怎么摆最整齐。
提示 · 方法构造：隔行隔列地摆。论证：把棋盘切成尽量多是 2×2 的小块，每块最多 1 个王。
提示 · 第一步第 1,3,5,7 行与第 1,3,5,7 列的交叉处，共 4×4=16 个，互不相邻。
完整解答论证：把第 1∼2、3∼4、5∼6、7 行分成 4 组，列也这样分 4 组，棋盘被切成 16 块（2×2、2×1、1×2 或单格），每块里任何两格都相邻，最多放 1 个王，所以不超过 16 个。构造达到 16，答案是 16。
8×8 的棋盘上，最多能放多少个互不攻击的车？（车攻击同一行、同一列的所有格子。）
提示 · 方法论证：按行切，每行最多 1 个。构造：找 8 个格子，不同行也不同列。
提示 · 第一步8 行，每行最多 1 个车，所以不超过 8 个。
完整解答把 8 个车放在一条对角线上，它们两两不同行也不同列，互不攻击。上界 8，构造 8，答案是 8。
从 1∼15 里选出一些数，使任何两个数的差都不等于 3。最多能选多少个？
提示 · 方向哪些数会“互相妨碍”？1 妨碍 4，4 妨碍 7……
提示 · 方法按除以 3 的余数分成三条链，每条链上相邻的两个数不能同时选。
提示 · 第一步三条链：1,4,7,10,13；2,5,8,11,14；3,6,9,12,15。每条有 5 个数。
完整解答一条 5 个数的链上，不选相邻的，最多选 3 个（第 1,3,5 个）。三条链最多 3×3=9 个。构造：每条链选第 1,3,5 个，即 1,7,13；2,8,14；3,9,15。同一条链里两数的差是 6 或 12；不同链的两个数除以 3 的余数不同，差不是 3 的倍数。所以没有哪两个数差 3。答案是 9。
6×6 的棋盘上，最多能放多少个互不攻击的象？
提示 · 方向回到第 1 站。5×5 时是 8=2×5−2。
提示 · 方法论证：数同一方向的斜线条数，再注意两条只有一格的斜线。构造：用第一行和最后一行。
提示 · 第一步同一方向的斜线有 2×6−1=11 条，每条最多 1 个象。两条单格斜线是一对对角，它们互相攻击，合起来只能放 1 个。
完整解答上界 11−1=10。构造：第一行放满 6 个，最后一行放中间 4 个（去掉两头）。同一行的象互不攻击；第一行与最后一行相隔 5 行，要互相攻击必须相差 5 列，只有两头的格子才会这样，而它们没有放。共 10 个，答案是 10。
第 4 站的卫兵问题换成 7×7 的院子。最少需要多少个卫兵？
提示 · 方向6×6 时 4 个卫兵各管一个 3×3。7×7 多出一行一列，4 个还够吗？
提示 · 方法论证：找一批证人格，任何卫兵都不能同时看到其中两个——两格的行或列相差至少 3 就行。构造：让卫兵的 3×3 区域把院子盖满。
提示 · 第一步证人：第 1,4,7 行与第 1,4,7 列交叉处的 9 格。任何两格的行或列至少相差 3，而一个卫兵看到的两格行、列都至多相差 2。
完整解答所以至少要 9 个卫兵。构造：把卫兵放在第 2,4,6 行与第 2,4,6 列的交叉处，共 9 个；第 2 行的卫兵管第 1∼3 行，第 4 行的管 3∼5 行，第 6 行的管 5∼7 行，列也一样，全部 49 格都被看住。答案是 9。