一句话
一堆对象，条件人人平等，不知道该先看谁——那就去找最特别的那一个：最大的、最小的、最靠边的。它已经“到头了”，别的对象还有退路，它没有。把条件用在它身上，矛盾往往就冒出来。
用之前只要确认一件事：这个“最”真的存在。
先猜后证
六个数围成一圈，每个数都等于左右两个邻居的平均数。这六个数可以不全相等吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不可以。上面的图里怎么调都差一点，原因就藏在最大的那个数身上。
例：每个数都是邻居的平均数
第 1 / 4 步- 人人平等，从谁下手？
六个数，条件一模一样。一个一个去试，永远试不完。
第 1 站 · 比赛里赢得最多的人（卷七）
一次单循环赛：每两名选手赛一场，没有平局。要证明一个经典结论：
一定有一位选手 ，对其他任何一位选手 都有： 赢了 ，或者 赢过某个赢了 的人。
选手那么多，谁是 ？让极端原理来挑。
例：找出那位选手 A
第 1 / 4 步- 挑赢得最多的
选手只有有限个，所以“赢的场数最多的人”一定存在（并列就任选一个）。让他当 。
第 2 站 · 最小的解，还能更小（卷六）
约分约到底的分数，分子分母没有公因数。把这个想法反过来用，就是数论里的极端原理：假设有解，取最小的解，再造出一个更小的。
先猜后证
有没有正整数 使得 ？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
没有。这等于说 写不成分数 。
例：p² = 2q² 没有正整数解
第 1 / 4 步- 假设有解，取最小的
如果有解，就在所有解里取 最小的那一组 。 是正整数，一堆正整数里一定有最小的，所以取得到。
第 3 站 · 面积最大的三角形（卷四）
一道流传很广的经典题：
平面上有有限个点，其中任意三个点组成的三角形，面积都不超过 。证明：可以用一个面积不超过 的三角形把所有的点盖住。
例：用一个大三角形盖住所有点
第 1 / 4 步- 三角形很多，盯住谁？
个点能组成 个三角形，大小各不相同。
练一练
个数围成一圈，每个数都等于它左右两个邻居的平均数。已知其中一个数是 。这 个数的和是多少？
提示 · 方向
这 个数可能不全相等吗？
提示 · 方法
盯住最大的那个数：它的两个邻居都不比它大，平均数却要等于它。
提示 · 第一步
所以最大数的两个邻居都等于它；邻居的邻居也一样……
完整解答
绕一圈， 个数全相等，都是 ，和为 。
名选手进行单循环赛，每两人赛一场，没有平局。不管比赛结果如何，赢得最多的那位选手至少赢了几场？
提示 · 方向
一共赛了多少场？每场恰好产生一个“赢”。
提示 · 方法
最大的数不会小于平均数。算出平均每人赢几场。
提示 · 第一步
一共 场，平均每人赢 场。
完整解答
最多的人不少于平均数 ，胜场是整数，所以至少 场。 场能取到：比如五个人各赢 场、另外五个人各赢 场，总数正好 。
证明：方程 没有正整数解。
提示 · 方向
假设有解，在所有解里取 最小的一组。想办法造出一组更小的。
提示 · 方法
看除以 的余数：一个平方数除以 ，只可能余 或 。 要是 的倍数，、 得怎样？
提示 · 第一步
余数只能是 ，所以 、 都是 的倍数。设 ，，代入得 ，即 。
完整解答
于是 是 的倍数， 也是，设 ，得 。 也是正整数解，而 ，与 最小矛盾。所以没有正整数解。