一句话
有些量，一块一块地看很乱，合起来看却很整齐。两个最常用的动作：
- 合起来：把所有局部加起来（或乘起来），只看整体。
- 算两次：同一个整体，用两种办法各算一遍。两个结果必须相等——不相等，就是矛盾；相等，就得到一个方程。
先猜后证
的方格，每格填 或 。能不能让每一行的积都是 ，同时每一列的积都是 ？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不能。一共 种填法，不用一种一种试——把九个数全部乘起来，一步就看穿了。
例：行积全是 −1，列积全是 +1？
第 1 / 4 步- 局部：顾了行，顾不了列
让三行的积都变成 很容易。可这时三列的积也全成了 。再改一格，行又坏了。
第 1 站 · 棋子按行数、按列数（卷七）
“算两次”既能说不行，也能告诉你行的时候该有多少。
例：4 行 6 列的棋盘，每行 3 枚、每列 2 枚？
第 1 / 4 步- 按行数
每行 枚， 行，棋子总数应该是 。
第 2 站 · 每一步只动一小块（卷七）
操作题里，每一步都是“局部”的。要判断最后能不能成功，就去找一个每一步都不变的整体量。
例：整行整列变号，能全变成 +1 吗？
第 1 / 4 步- 规则
的方格里只有左上角是 。每一步可以把一整行或一整列的四个数全部变号。能不能把所有数都变成 ？
第 3 站 · 把一块式子当成一个整体（卷一）
代数里也一样：别急着把每个括号都拆开，先看看有没有反复出现的一整块。
例：分解 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) − 24
第 1 / 4 步- 别全部展开
四个括号全乘开是四次式，一团乱。先两两配对：让两组乘出来的样子尽量像。，所以首尾配、中间配。
求值时也常常不必知道每个字母，只要知道“整体”：已知 ，，那么 ——、 各是多少，根本不用解。
练一练
名同学参加兴趣小组。每名同学恰好参加 个小组，每个小组恰好有 名同学。一共有几个小组？
提示 · 方向
把“某同学参加了某小组”叫做一个“名额”。名额的总数可以怎么数？
提示 · 方法
算两次：按同学数一遍，按小组再数一遍。
提示 · 第一步
按同学数： 个名额。设有 个小组，按小组数： 个名额。
完整解答
，所以 。
已知 ，求 的值。
提示 · 方向
不用把 解出来。 显然不是 ，方程两边同除以 试试。
提示 · 方法
得到 。把 当成一个整体，再平方。
提示 · 第一步
。
完整解答
。
（经典题改编） 的方格，每格填 或 。算出 个行积和 个列积，把这 个数加起来。证明：这个和不可能等于 。
提示 · 方向
个数每个都是 。和为 意味着其中恰好有几个 ？
提示 · 方法
设行积里有 个 ，列积里有 个 。用“全体的积算两次”找出 和 的关系。
提示 · 第一步
全体的积按行算是 ，按列算是 ，所以 、 同奇偶， 是偶数。
完整解答
和为 需要 个数里恰有 个 ，即 ，是奇数。但 必须是偶数，矛盾。所以和不可能是 。