操作与游戏

一句话

东西一直在变的时候，去找那个不变的量。 如果起点和终点的这个量不一样，那就永远到不了——不管走多少步、怎么走。

这一章有三件工具：不变量（证明到不了）、只降不升的量（证明一定会停）、倒推（找游戏的必胜走法）。

第 1 站 · 不变量要自己挑

把方阵换成 $3\times 3$，负号放在正中间。

一行或一列穿过左上角的 $2\times 2$ 小方块时，恰好穿过其中 $2$ 格；两个数同时变号，乘积不变。这个小方块里四个数的乘积一开始是 $-1$（中心那格在里面），而全 $+$ 时是 $+1$。不变量没有现成的，要看着操作去设计。

第 2 站 · 黑板上的数

黑板上写着 $1,2,3,4,5,6$。每次擦掉两个数，写上它们的差。

换一条规则：擦掉 $a$、$b$，写上 $a+b+ab$。这次连“最后剩几”都被不变量钉死了。

第 3 站 · 翻杯子

每次翻 $4$ 个杯子：如果其中有 $j$ 个原来口朝上，翻完后朝上的个数改变了 $(4-j)-j=4-2j$，是偶数。朝上的个数一开始是 $7$，永远是奇数，到不了 $0$。

第 4 站 · 一定会停下来

有的问题问的不是“能不能到”，而是“会不会没完没了”。这时要找的是一个每一步都严格变小、又不能小于 $0$ 的整数。

交换相邻的一对“左高右矮”：这一对不再是逆序对；而其他任何一对人的左右关系都没有变。所以逆序对恰好少 $1$。它是非负整数，不可能无限地减下去——过程一定停止，而且恰好走“开始时的逆序对数”那么多步，和你换的顺序无关。

第 5 站 · 游戏：从终点往回推

$21$ 颗石子，两人轮流拿，每次拿 $1$、$2$ 或 $3$ 颗，拿到最后一颗的人赢。先和电脑下一盘——它不会犯错。

规则一变，必败位置也跟着变，但推法不变。

有的游戏不用推表，靠对称就能赢：

先手拿走正中间（硬币是偶数枚时拿中间两枚），剩下左右两段一样长。之后对手在一边拿什么，你就在另一边的镜像位置拿什么。只要对手还有得拿，你就有得拿——所以最后一枚一定是你的。

练一练