综合运用

一句话

分解因式不是碰运气。拿到一个式子，按固定的顺序问自己几个问题，每做完一步，再对每个因式从头问一遍。

一提（公因式）、二套（公式）、三十字、四分组；都不行，想拆项添项或换元；最后查到底。

上面的路线图就是这句口诀。它的要点只有两个：先后顺序和问到底。

先猜后证

分解 $3x^2-12$，第一步应该做什么？

A用平方差公式B提公因式 $3$C十字相乘

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 把一块看成一个字母

式子里有一块反复出现时，给它起个名字，整个式子就矮了一截。

这就是换元：局部看成整体，问题从四次降到二次。

第 2 站 · 路不止一条

一题多解

分解 $x^6-1$。

先当成平方差

$x^6-1=(x^3{)}^2-1=(x^3-1)(x^3+1)$

再用立方差、立方和：

$(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$

代价两步都是直接套公式，最省力。

先当成立方差

$x^6-1=(x^2{)}^3-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$；而 $x^4+x^2+1=(x^2+1{)}^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$。

结果相同。

代价中途会遇到 $x^4+x^2+1$，要靠添项才能继续。

两条路终点一样——分解到底的结果是唯一的。但走哪条路，费的力气差很多。一般先平方、后立方，次数降得更快。

第 3 站 · 分组也要看整体

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ 有六项。可以三三分，也可以两两分：

$$x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1).$$

剩下的 $x^4+x^2+1$ 正是第 2 站里见过的那个式子。做过的题会变成工具：认出它，就不用重新想。

练一练

练习 1基础

分解因式：$3x^3-27x$。

检查

练习 2提高

分解因式：$x^4-10x^2+9$。

检查

练习 3提高

分解因式：$(x^2+2x{)}^2-2(x^2+2x)-3$。

检查

练习 4挑战

分解因式：$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$。

检查