三角形的内接三角形

观察

三个顶点分别在 $△ A B C$ 三条边上的三角形，叫做它的内接三角形。

先固定 $D$ ，只拖 $E$ 和 $F$ ：周长在变。有没有一个明确的“最好位置”？凭手感很难说。
点“展开”。 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 是 $D$ 关于 $A B$ 、 $A C$ 的对称点。橙色折线 $D_{1} \to F \to E \to D_{2}$ 的长度，和 $△ D E F$ 的周长完全一样——因为 $F D_{1} = F D$ ， $E D_{2} = E D$ 。
折线的两端 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 不随 $E$ 、 $F$ 动。两点之间线段最短：点“把 $E$ 、 $F$ 拉到直线 $D_{1} D_{2}$ 上”，周长立刻降到绿色线段的长度。这时 $F$ 、 $E$ 处的两个夹角相等——像光线在镜子上反射。
现在拖 $D$ 。绿色线段 $D_{1} D_{2}$ 的长度跟着变。 $D$ 在哪里时它最短？点“把 $D$ 移到高的垂足”验证你的猜测。

先猜后证

锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的那个，三个顶点是什么点？

三边的中点三条高的垂足内切圆与三边的切点三条角平分线与对边的交点

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

这个证明用了两个想法，它们以后会反复出现：

连接三边中点得到中点三角形。每条边都是中位线，平行于第三边且等于它的一半，所以中点三角形与原三角形相似，相似比 $\frac{1}{2}$ ：周长是原来的 $\frac{1}{2}$ ，面积是原来的 $\frac{1}{4}$ 。四个小三角形全等。

Break it

结论：垂足三角形是周长最短的内接三角形

锐角三角形。展开、拉直、把 $D$ 移到垂足，得到最短周长。

练习 1基础

$△ A B C$ 的周长是 $24$ 。连接三边中点得到的三角形，周长是多少？

练习 2基础

$△ A B C$ 的面积是 $36$ 。它的中点三角形的面积是多少？

练习 3提高

锐角 $△ A B C$ 中 $∠ A = 3 0^{\circ}$ 。 $D$ 是 $B C$ 上的一个定点， $A D = 8$ 。 $E$ 、 $F$ 分别在 $A C$ 、 $A B$ 上移动，求 $△ D E F$ 周长的最小值。

练习 4挑战

锐角 $△ A B C$ 中 $∠ A = 5 0^{\circ}$ ， $∠ B = 6 0^{\circ}$ ， $∠ C = 7 0^{\circ}$ 。 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 边上高的垂足。求 $∠ E D F$ 的度数。