三角形的四心 · 看得见的小蓝本

三角形的四心

重心、外心、垂心、内心住在同一个三角形里。谁会跑到外面去？谁和谁永远在一条直线上？

📖 配合《三角形与四边形》第 6 章阅读M10 利用圆的性质线

观察

只留“重心 $G$ ”：三条中线交于一点。怎么拖， $G$ 都在三角形内部。
打开“外心 $O$ ”：三边的垂直平分线交于一点，以它为圆心的圆过三个顶点。把三角形拖成直角三角形—— $O$ 落在斜边的中点上；再拖成钝角， $O$ 出去了。
打开“垂心 $H$ ”：三条高交于一点。直角三角形时 $H$ 就是直角顶点；钝角时要把高延长才相交， $H$ 在外面。
打开“内心 $I$ ”：三条角平分线交于一点，以它为圆心的圆与三边都相切。它和重心一样，从不出门。
打开“欧拉线”：不管三角形怎么变， $O$ 、 $G$ 、 $H$ 都在一条直线上，而且 $G H : O G$ 的读数一直是 $2$ 。内心一般不在这条线上。

先猜后证

把三角形拖成钝角三角形。四个“心”里有几个在三角形外部？

1

个

2

个

3

个

4

个

先选定答案，才能看到结论。

为什么：一条线串起三个心

欧拉线是怎么冒出来的

第 1 / 6 步

重心：分中线为 2 : 1
三条中线交于重心 $G$ 。 $G$ 把每条中线分成 $2 : 1$ 两段，靠近顶点的那段长。

$A G : G M_{a} = 2 : 1$
外心：中垂线的交点
垂心：高的交点
三点共线
直角三角形
九点圆

重心为什么把中线分成 2 : 1

第 1 / 4 步

设两条中线交于 G
中线 $A M_{a}$ 、 $B M_{b}$ 交于 $G$ 。连 $C G$ 。记 $S_{△ GB C} = x$ ， $S_{△ GC A} = y$ ， $S_{△ G A B} = z$ 。
共边定理用两次
第三条中线也过 G
2 : 1

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：四个心都在三角形内部

拖动顶点，但保持三个角都是锐角。四块读数都是“内部”。

练一练

练习 1基础

直角三角形的两条直角边长为 $6$ 和 $8$ 。求它的外接圆半径。

练习 2基础

还是上一题的直角三角形（三边 $6$ 、 $8$ 、 $10$ ）。求它的内切圆半径。

练习 3提高

$G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $B C$ 边上的中线 $A D = 9$ 。求 $A G$ 的长。

练习 4挑战

锐角 $△ A B C$ 中 $∠ A = 5 0^{\circ}$ ， $O$ 、 $H$ 、 $I$ 分别是它的外心、垂心、内心。求 $∠ B O C + ∠ B H C + ∠ B I C$ 的度数。

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展品

内心、外心的定义记反

内心是三边垂直平分线的交点，所以内心到三个顶点的距离相等。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　到三个顶点等距的点在三边的垂直平分线上，是外接圆的圆心——外心。内心是三条角平分线的交点，到三条边等距，是内切圆的圆心。

外心 ↔ 中垂线 ↔ 到顶点等距 ↔ 外接圆；内心 ↔ 角平分线 ↔ 到边等距 ↔ 内切圆。

「圆过顶点的是外心，圆贴着边的是内心」

展品

以为四心都在三角形内部

O

是

△ A B C

的外心，所以

O

在三角形内，

∠ B O C = 2∠ A

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　外心和垂心在钝角三角形里会跑到外面，在直角三角形里落在边上或顶点上。 $∠ A$ 是钝角时， $∠ B O C = 36 0^{\circ} - 2∠ A$ 。

涉及外心、垂心的题，先看三角形是锐角、直角还是钝角；没说就要分类讨论。重心和内心永远在内部，不用担心。

「外心、垂心会出门；重心、内心不会」