利用圆的性质

一句话

站在圆上看一条弦，不管站在这段弧的哪个位置，视角都一样大：

$$\text{同弧所对的圆周角相等，都等于圆心角的一半。}$$

这句话让圆成了一台搬运角的机器：一个角可以沿着圆滑到别处，大小不变。所以两个隔得很远的角，只要它们的顶点和另外两个点在同一个圆上，就能直接画等号。

更要紧的是反过来用：题目里没有圆，但有四个点满足“对角互补”或“同侧等角”，那它们就在一个圆上。把这个看不见的圆请出来，角就能搬了。

先猜后证

弦 $AB$ 所对的圆心角是 $100^{\circ }$。$P$ 在圆上，而且和圆心在 $AB$ 的同一侧。$\angle APB$ 是多少度？

°

就猜这个，揭晓先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 角在圆上滑动（卷五 · 圆中的角）

圆上有 $A$、$B$ 两点，劣弧 $AB$ 是 $130^{\circ }$。$P$ 是圆上的动点。$\angle APB$ 可能是多少度？

答案只有两种：$65^{\circ }$ 或 $115^{\circ }$，它们互补。

第 2 站 · 两个直角请出一个圆（卷五 · 四点共圆）

锐角 $△ABC$ 中，$BE\perp AC$ 于 $E$，$CF\perp AB$ 于 $F$。求证：$\angle AFE=\angle ACB$。

图里没有圆。但有两个直角，都对着 $BC$。

顺带得到：$△AFE$ 和 $△ACB$ 有两组角相等，它们相似。

第 3 站 · 对角互补，一进一出（卷四 · 圆内接与外切四边形）

$A$、$B$、$C$ 在圆上。第四个点 $D$ 在哪里时，$\angle A+\angle C=180^{\circ }$？

所以“对角互补”既是圆内接四边形的性质，也是四点共圆的判定。第 2 站用的就是它。

第 4 站 · 乘积不变（卷五 · 圆幂定理的应用）

圆内两条弦 $AB$、$CD$ 相交于 $P$。$PA=2$，$PB=6$，$PC=3$。求 $PD$。

练一练

练习 1基础

弦 $AB$ 所对的圆心角是 $140^{\circ }$。$P$ 在劣弧 $AB$ 上（不与 $A$、$B$ 重合）。$\angle APB$ 是多少度？

检查

练习 2提高

圆内两条弦 $AB$、$CD$ 相交于 $P$，$PA=4$，$PB=9$，而且 $P$ 恰好是 $CD$ 的中点。求 $CD$ 的长。

检查

练习 3挑战

锐角 $△ABC$ 中 $\angle A=50^{\circ }$，高 $BE$、$CF$ 相交于 $H$。$\angle BHC$ 是多少度？

检查