一句话
圆上有很多“免费”的等量关系：同弧所对的圆周角相等、内接四边形对角互补……可是题目里常常没有画圆。四点共圆这个方法就是：先用角或线段的关系证明四个点在同一个圆上，再把这个看不见的圆上的性质全部拿来用。
所以每条判定都要会正着用和反着用：
| 判定（证明共圆） | 性质（共圆之后可用） |
|---|
| C、D 在 AB 同侧，∠ACB=∠ADB | 同弧所对的圆周角相等 |
| 四边形的一组对角互补 | 圆内接四边形对角互补 |
| 一个外角等于它的内对角 | 外角等于内对角 |
| 对角线交于 P，PA⋅PC=PB⋅PD | 相交弦定理（下一站） |
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D 在圆内 虚线是过 A、B、C 的圆。D 在圆内时，它看线段 AB 的张角 ∠ADB 比圆周角 ∠ACB 大。
∠ADB>∠ACB
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D 在圆外
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相等的那一刻
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对角互补
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外角等于内对角
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乘积相等
先猜后证
下面哪一种四边形一定有外接圆（四个顶点共圆）？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
等腰梯形 ABCD（AD∥BC，AB=DC）：同一底上的两个角相等，∠B=∠C；又因为平行，∠A+∠B=180∘。把 ∠B 换成 ∠C，就得到 ∠A+∠C=180∘——对角互补，共圆。
菱形和平行四边形的对角相等，只有都等于 90∘ 时才互补，那就成了正方形、矩形。直角梯形的每一组对角都是“一个直角配一个不是直角的角”，和不是 180∘。
第 1 站 · 两个直角对着同一条线段
最常见的共圆信号是直角。直径所对的圆周角是 90∘；反过来，如果 ∠ACB=∠ADB=90∘，那么 C、D 都在以 AB 为直径的圆上。
例：△ABC 中，BE、CF 是两条高。∠BEC=∠BFC=90∘，而且 E、F 在 BC 的同侧，所以 B、C、E、F 四点共圆，圆心是 BC 的中点。
这里 A、B 是直径的两端。把 D 拖到圆上，∠ADB 的读数是多少？
第 2 站 · 两个直角面对面
如果两个直角是四边形的一组对角，它们的和就是 180∘，同样共圆。
例：上面的两条高交于 H。在四边形 AFHE 中，∠AFH=∠AEH=90∘，所以 A、F、H、E 共圆，直径是 AH。于是 ∠FHE=180∘−∠A，垂心处的角一下子就求出来了。
第 3 站 · 一题两解
一题多解
锐角 △ABC 中，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F。求证：∠AFE=∠ACB。
四点共圆
∠BEC=∠BFC=90∘，E、F 在 BC 同侧，所以 B、C、E、F 四点共圆。
∠AFE 是圆内接四边形 BCEF 的一个外角，它等于内对角 ∠ECB，也就是 ∠ACB。
代价两行。前提是认出“两个直角对着 BC”。
相似三角形
△ABE 和 △ACF 都是直角三角形，并且共用 ∠A，所以 △ABE∼△ACF，得到 AFAE=ACAB。
把它改写成 ABAE=ACAF。再加上公共角 ∠A，得到 △AEF∼△ABC，所以 ∠AFE=∠ACB。
代价不用圆，但要证两次相似。
两种解法其实是一回事：第二种解法里的比例式 AE⋅AC=AF⋅AB，正是下一站要讲的“圆幂”。
练一练
四边形 ABCD 内接于圆，∠A=75∘。求 ∠C 的度数。
提示 · 方向∠A 和 ∠C 是什么关系的两个角？
圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:7。求 ∠D 的度数。
提示 · 方法设三个角是 2k、3k、7k。用 ∠A+∠C=180∘ 求 k。
提示 · 第一步2k+7k=180∘，k=20∘，所以 ∠B=60∘。
锐角 △ABC 中，∠A=50∘，高 BE、CF 交于 H。求 ∠BHC 的度数。
提示 · 方向∠BHC 和 ∠FHE 是对顶角。∠FHE 在哪个四边形里？
提示 · 方法四边形 AFHE 有两个直角，它们是一组对角。
提示 · 第一步A、F、H、E 四点共圆，所以 ∠FHE+∠A=180∘。
完整解答∠BHC=∠FHE=180∘−50∘=130∘。
锐角 △ABC 的高 AD、BE 交于 H。延长 AD 交 △ABC 的外接圆于 K。求证：HD=DK。
提示 · 方向要证 D 是 HK 的中点。已经知道 BD⊥HK，还缺什么就能说明 △BHK 是等腰三角形？
提示 · 方法证 BD 平分 ∠HBK，即 ∠HBD=∠KBD。两个角都想办法换成和 ∠C 有关的角。
提示 · 第一步∠KBD=∠KBC=∠KAC（同弧 KC 所对的圆周角）。在直角三角形 ADC 中，∠KAC=90∘−∠C。
完整解答在直角三角形 BEC 中，∠HBD=∠EBC=90∘−∠C。所以 ∠HBD=∠KBD。在 △BHK 中，BD 既是高又是角平分线，所以 BH=BK，D 是 HK 的中点，HD=DK。