圆的切线

观察

为什么是 $9 0^{\circ}$ ？ $O A = O B$ ，所以 $△ O A B$ 是等腰三角形，

∠ O A B = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A O B}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A O B .

$B$ 靠近 $A$ 时， $∠ A O B$ 缩向 $0^{\circ}$ ，所以 $∠ O A B$ 涨向 $9 0^{\circ}$ 。两点重合，割线成了切线，角就正好是直角：

Break it

结论：过 $A$ 的这条直线和圆只有一个公共点

直线过 $A$ 并且垂直于 $O A$ ：它是切线，只有 $A$ 一个公共点。

拖动

P

。两条切线长有没有不相等的时候？

$△ O A P$ 和 $△ O B P$ 都是直角三角形，斜边 $O P$ 公共， $O A = O B$ ，所以它们全等。于是

先猜后证

$P A$ 、 $P B$ 是圆 $O$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $∠ A P B = 5 0^{\circ}$ 。 $∠ A O B$ 是多少度？

先选定答案，才能看到结论。

顶点在圆上，一边是切线、另一边是弦的角，叫弦切角。它是圆周角的“极限版”：把圆周角的一条边绕顶点转到与圆相切。

第 1 / 5 步

要证什么
$A T$ 是切线， $A B$ 是弦， $C$ 在另一条弧上。要证红色的弦切角等于蓝色的圆周角。

$∠ B A T = ∠ A C B ?$
作直径 AD，连 DB
第一个直角：切线垂直于半径
第二个直角：直径所对的圆周角
把 D 换成 C

练习 1基础

圆 $O$ 的半径是 $5$ ，点 $P$ 到圆心的距离是 $13$ ， $P A$ 切圆于 $A$ 。求切线长 $P A$ 。

练习 2基础

$P A$ 、 $P B$ 分别切圆 $O$ 于 $A$ 、 $B$ ， $∠ A P B = 7 0^{\circ}$ 。求 $∠ A O B$ 的度数。

练习 3提高

直线 $A T$ 切圆于 $A$ ， $A B$ 是弦，弦切角 $∠ B A T = 6 5^{\circ}$ 。点 $C$ 在 $∠ B A T$ 夹住的那条弧上（不与 $A$ 、 $B$ 重合）。求 $∠ A C B$ 的度数。

练习 4挑战

$△ A B C$ 中， $B C = 13$ ， $C A = 14$ ， $A B = 15$ 。它的内切圆切 $A B$ 于 $D$ 。求 $A D$ 的长。