圆内接四边形与圆外切四边形

观察：圆内接四边形

四个顶点都在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形。

$D$ 在圆外： $∠ B + ∠ D$ 小于 $18 0^{\circ}$ 。 $D$ 在圆内：大于 $18 0^{\circ}$ 。
点“把 $D$ 吸到圆上”：两组对角之和同时变成 $18 0^{\circ}$ 。
$D$ 在圆上时，沿着圆弧拖它（松手后会自动吸回圆上）： $∠ D$ 不变——这是“同弧所对的圆周角相等”； $∠ B + ∠ D$ 始终是 $18 0^{\circ}$ 。
再拖动 $A$ 或 $C$ 改变圆的大小，重新把 $D$ 吸上去：结论照旧。

先猜后证

四边形 $A B C D$ 内接于圆， $∠ A = 7 0^{\circ}$ 。 $∠ C$ 是多少度？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

反过来也对：对角互补的四边形，四个顶点共圆。这是证明四点共圆最常用的办法之一（《圆》那一卷的“四点共圆”一站会展开）。

四条边都与同一个圆相切的四边形叫圆外切四边形。下面的点线圆与 $A B$ 、 $B C$ 、 $D A$ 三边所在的直线相切——关键是它碰不碰得上第四条边 $C D$ 。

实线的一组对边是

A B

、

C D

，虚线的一组是

B C

、

D A

。拖动

D

，让两组对边的和相等。

第 1 / 4 步

四条边都相切
这个筝形有内切圆（指示灯是 ✓）。设四条边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上的切点依次是 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 。
切线长定理
把每条边拆成两段
同样的四个数

Break it

结论： $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$

$D$ 被锁在圆上。沿着圆弧拖它，或者拖动 $A$ 、 $B$ 、 $C$ （ $D$ 会跟着留在新的圆上）。

练习 1基础

圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 7$ 。求 $∠ D$ 的度数。

练习 2基础

四边形 $A B C D$ 外切于一个圆， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ， $C D = 8$ 。求 $D A$ 的长。

练习 3提高

四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $E$ 在 $B C$ 的延长线上， $∠ D C E = 7 5^{\circ}$ 。求圆心角 $∠ B O D$ 的度数（指劣弧 $B D$ 所对的圆心角）。

练习 4挑战

一个等腰梯形有内切圆，它的上底长 $2$ ，下底长 $8$ 。求内切圆的半径。