对称性

一句话

a^{2} + b^{2} a \leftrightarrow b b^{2} + a^{2} （没有变）

如果把两个字母对调，式子纹丝不动，说明这两个字母的地位完全平等。平等带来三样好处：

先猜后证

在 $a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$ 中令 $a = b$ ，结果是什么？

0

2 b^{2} (b - c)

要看

b, c

的值

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

试一个特殊值
令 $a = b$ ，式子变成 $0$ 。所以它含有因式 $(a - b)$ 。

$a = b \Rightarrow 0 \Rightarrow (a - b)$
轮着换，式子不变
数次数
定常数
结果

方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两个根是 $2 \pm 3$ ，谁是“第一个根”谁是“第二个”完全是人为的。所以凡是有确定答案的问题，问的一定是交换两根不变的量——而这样的量只用和 $s = 4$ 、积 $p = 1$ 就能算。

第 1 / 4 步

先看它对称吗
交换 $a, b$ ， $a^{2} + b^{2}$ 不变。所以它能只用 $s = a + b$ 、 $p = ab$ 写出来。

$a^{2} + b^{2} = s^{2} - 2 p = 16 - 2 = 14$
立方和
提公因式
一个反例

方程组里把 $x$ 、 $y$ 对调，两个方程都不变。那就别急着消元，先换成 $s = x + y$ 、 $p = x y$ ——次数会降下来。

第 1 / 6 步

认出对称
对调 $x$ 、 $y$ ，两个方程都不变。设 $s = x + y$ ， $p = x y$ 。

$x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$
改写
消去 p
s = 5
s = −7
成对出现

图形里的“交换不变”，就是轴对称。等腰三角形沿对称轴翻折， $B$ 和 $C$ 互换， $A B$ 和 $A C$ 互换。

第 1 / 5 步

练习 1基础

$a$ 、 $b$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个根。求 $a^{2} + b^{2}$ 。

练习 2提高

方程组 $x^{2} + y^{2} = 10$ ， $x y = 3$ 一共有几组实数解 $(x, y)$ ？

练习 3挑战

已知 $a^{3} (b - c) + b^{3} (c - a) + c^{3} (a - b) = k (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)$ 对所有 $a, b, c$ 成立，求常数 $k$ 。