观察
- 把三角形拖成钝角三角形。外心 在哪里？拖成直角三角形时呢？
- 无论怎么拖，内心 出过三角形吗？
- 看读数 和它下面的小字。拖动 时，两者始终一致吗？
- 比较 和 。你能把三角形拖得让 小于 吗？
外心 是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心。 内心 是三条角平分线的交点，到三边的距离相等，是内切圆的圆心。
内心处的角只和 有关：
先猜后证
中 ， 是内心。 是多少度？
°
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
。
有意思的是，这时外心处的角 也是 。 和 在 的同侧，看 的张角相等——所以当 时，、、、 四点共圆。第 6 站的判定在这里又用上了。
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：外心 在三角形的内部 ← 还成立吗？
三个角都是锐角：外心在里面。
把 换成钝角。
外心跑到了 的另一侧。原因在圆周角： 是钝角，它对着的弧 超过半圆，圆心就落在弦 的外侧。把 慢慢往上拖， 经过 的那一刻， 正好在 的中点。
鸡爪定理
延长 交外接圆于 。 是 内的旁心（ 的平分线与 、 的外角平分线的交点）。那么
从 伸出的四条等长线段像一只鸡爪，因此得名。
证明：MB = MC = MI = MJ
第 1 / 6 步- 认识图形
是 的延长线与外接圆的交点， 是旁心。四个读数现在相等；拖一下顶点，它们一起变，但始终相等。
欧拉公式
外心和内心的距离 完全由两个半径决定：
为什么？对内心 用圆幂定理。 在外接圆内，过 的弦 给出
由鸡爪定理 。再作直径 ，设内切圆切 于 ：直角三角形 和 中，（都对着弧 ），所以它们相似，，即 。
于是 ，也就是 。
因为 ，立刻得到 ：外接圆半径至少是内切圆半径的两倍，只有等边三角形取等号。
练一练
直角三角形的三边长是 、、。求它的内切圆半径。
提示 · 方向
内心和三个顶点相连，把三角形分成了三个小三角形，它们的高都是什么？
提示 · 方法
面积 。
提示 · 第一步
，周长是 。
完整解答
，。直角三角形还可以直接用 。
是 的内心，。求 的度数。
提示 · 方向
、 是什么线？
提示 · 方法
。
提示 · 第一步
，一半是 。
完整解答
，正好是 。
直角三角形的三边长是 、、，外心是 ，内心是 。求 。
提示 · 方向
需要 和 。直角三角形的外心在哪里？
提示 · 方法
外心是斜边中点，；（练习 1）。用欧拉公式。
提示 · 第一步
。
完整解答
。用坐标验算：直角顶点放在原点，， 或 ，。
内接于半径为 的圆，， 是内心， 的延长线交外接圆于 。求 的长。
提示 · 方向
由鸡爪定理， 等于哪条弦？
提示 · 方法
。弦 所对的圆周角是 ，求出它所对的圆心角。
提示 · 第一步
，所以 。
完整解答
中 ，顶角 ，是等边三角形，。所以 。