与圆有关的杂题

一句话

圆的综合题看起来各不相同，但能用的武器就那么几件。读题时不要急着算，先把图里的条件翻译成下面三类不变量之一：

等角：同弧所对的圆周角、弦切角、圆内接四边形的外角。
等积：过一点的两条直线与圆相交， $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ 。
等长：半径、切线长、垂径定理平分出的两段。

看到什么，想到什么

第 1 / 6 步

看到直径
想到直角：直径所对的圆周角是 $9 0^{\circ}$ 。反过来，看到圆上的直角，就去找直径。
看到切线
看到弦的中点或弦长
看到两个相等的角，或两个直角
看到乘积或比例
没有给图

先猜后证

$A B$ 是圆的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于 $H$ ， $A H = 2$ ， $H B = 8$ 。弦 $C D$ 有多长？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 同一道题，三件武器

一题多解

$A B$ 是圆的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于 $H$ ， $A H = 2$ ， $H B = 8$ 。求 $C D$ 的长。

等积：相交弦定理

弦 $A B$ 、 $C D$ 交于 $H$ ，所以 $C H \cdot H D = A H \cdot H B = 16$ 。

直径 $A B$ 垂直于弦 $C D$ ，由垂径定理 $C H = H D$ 。于是 $C H^{2} = 16$ ， $C H = 4$ ， $C D = 8$ 。

代价一行。前提是看出 H 是两条弦的交点。

等长：半径与弦心距

直径 $A B = 10$ ，半径是 $5$ ，圆心 $O$ 到 $H$ 的距离是 $O H = 5 - 2 = 3$ 。

在直角三角形 $O H C$ 中， $C H = 5^{2} - 3^{2} = 4$ ，所以 $C D = 8$ 。

代价要先求半径，但不需要任何圆幂的知识。

等角：直径所对的直角

连 $A C$ 、 $B C$ 。 $A B$ 是直径，所以 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 。

$∠ A C H$ 和 $∠ C B H$ 都与 $∠ B C H$ 互余，所以相等， $△ A C H \sim △ C B H$ ，得 $C H^{2} = A H \cdot H B = 16$ ， $C H = 4$ ， $C D = 8$ 。

代价要用一次相似，但顺便得到了一个常用结论。

第 2 站 · 角：先分清顶点在哪

弦

A B

所对的圆周角有两个值。

P

和

Q

的读数加起来是多少？

圆心角是 $12 0^{\circ}$ 时，优弧上的圆周角是 $6 0^{\circ}$ ，劣弧上的是 $12 0^{\circ}$ 。只要题目说的是“弦所对的圆周角”，或者没有说明点在哪条弧上，就要写两个答案。

第 3 站 · 共圆：把看不见的圆画出来

只留下两个指示灯：一个量角，一个量长度。它们会不会一个亮、一个不亮？

角的条件和长度的条件说的是同一件事。题目给的是角，结论要的却是线段的乘积（或者反过来）时，中间那座桥往往就是“四点共圆”。

练一练

练习 1基础

圆的半径是 $2$ ，弦 $A B = 23$ ， $C$ 是圆上不同于 $A$ 、 $B$ 的一点。 $∠ A C B$ 可能是多少度？（写出所有可能，用逗号隔开。）

练习 2提高

$P T$ 切圆于 $T$ ， $P T = 6$ 。过 $P$ 的割线依次交圆于 $A$ 、 $B$ ， $P A = 3$ 。求弦 $A B$ 的长。

练习 3提高

四边形 $A B C D$ 内接于圆，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于 $P$ 。已知 $P A = 2$ ， $P C = 6$ ， $P B = 3$ ， $A B = 4$ 。求 $C D$ 的长。

练习 4挑战

两个圆相交于 $A$ 、 $B$ 。过 $A$ 的一条直线分别交两圆于 $C$ 、 $D$ ，过 $B$ 的一条直线分别交两圆于 $E$ 、 $F$ （ $C$ 、 $E$ 在第一个圆上， $D$ 、 $F$ 在第二个圆上，且 $A$ 在 $C$ 、 $D$ 之间， $B$ 在 $E$ 、 $F$ 之间）。求证： $C E ∥ D F$ 。

一句话

看到什么，想到什么

第 1 站 · 同一道题，三件武器

等积：相交弦定理

等长：半径与弦心距

等角：直径所对的直角

第 2 站 · 角：先分清顶点在哪

第 3 站 · 共圆：把看不见的圆画出来

练一练

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没给图的题，只画了一种图