托勒密定理及其应用 · 看得见的小蓝本

观察

随便拖 $D$ 。比较两条彩带： $A B \cdot C D + A D \cdot B C$ 和 $A C \cdot B D$ 。下面那条有没有超过上面的时候？
点“把 $D$ 吸到圆上”。“多出来的”变成了多少？
沿着圆继续拖 $D$ ，让它越过 $A$ ，跑到 $A$ 、 $B$ 之间的弧上。 $D$ 还在圆上，等号还成立吗？
想象 $A B C D$ 是一个长方形（长方形一定内接于圆）。这时六条线段只有三种长度，等式变成了哪个熟悉的定理？

托勒密定理：圆内接四边形 $A B C D$ 中，

A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D

对平面上任意四点，左边都不小于右边（托勒密不等式）。等号成立，当且仅当四点共圆并且按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的顺序排列。

长方形的对边相等、对角线相等，所以定理变成 $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ ：勾股定理是托勒密定理的特例。

先猜后证

等边三角形 $A B C$ 内接于圆，点 $P$ 在劣弧 $B C$ 上， $P B = 3$ ， $P C = 5$ 。 $P A$ 是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么

要证“乘积之和等于乘积”，办法是把对角线 $B D$ 切成两段，让每一段各负责一个乘积。

证明托勒密定理

第 1 / 6 步

要证什么
$A B C D$ 内接于圆。要证两组对边的乘积之和等于对角线的乘积。

$A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D$
在 BD 上取一点 E
第一对相似
第二对相似
相加
不共圆时

如果 D 不在圆上

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D$

$D$ 在圆上：两条彩带一样长。

练一练

练习 1基础

等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = 7$ ， $B C = 15$ ， $A B = C D = 8$ 。求对角线 $A C$ 的长。（等腰梯形有外接圆。）

练习 2基础

等边三角形 $A B C$ 内接于圆，点 $P$ 在劣弧 $B C$ 上， $P A = 10$ ， $P B = 4$ 。求 $P C$ 。

练习 3提高

四边形 $A B C D$ 内接于圆， $A C$ 是直径， $A C = 25$ ， $A B = 7$ ， $A D = 15$ 。求 $B D$ 的长。

练习 4挑战

正五边形 $A B C D E$ 的边长是 $1$ ，对角线长是 $x$ 。用托勒密定理证明 $x^{2} = x + 1$ ，并求出 $x$ 。

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展品

把相邻的边配成了一对

圆内接四边形

A B C D

中，

A B \cdot B C + C D \cdot D A = A C \cdot B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　托勒密定理里相乘的是对边： $A B$ 配 $C D$ ， $A D$ 配 $B C$ 。相邻的两条边有公共顶点，不是一对。

A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D

。检查方法：每个乘积里，四个字母

A

、

B

、

C

、

D

应该各出现一次。

「每个乘积里四个顶点各出现一次」

展品

四点在圆上，但顺序不对

A

、

B

、

C

、

D

在同一个圆上，所以

A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　定理说的是圆内接四边形 $A B C D$ ，也就是四个点在圆上按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的顺序排列， $A C$ 、 $B D$ 是对角线。如果圆上的顺序是 $A$ 、 $D$ 、 $B$ 、 $C$ ，那么 $A C$ 就成了边，等式不成立。

先在圆上按顺序读出四个点，确定哪两条是对角线（它们在圆内相交），再写等式：对角线的乘积单独放一边。

「先认清谁是对角线」