相似三角形

这一招在做什么

把一个三角形平移、旋转、翻折，再放大或缩小，能和另一个重合，这两个三角形就相似。放大的倍数 $k$ 叫相似比。全等是 $k = 1$ 的相似。

△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{C ^{'} A ^{'}}{C A} = k ∠ A = ∠ A^{'}, ∠ B = ∠ B^{'}, ∠ C = ∠ C^{'}

判定相似比判定全等更省：缩放不改变角，所以两个角对应相等就够了（AA）。另外还有“两边成比例且夹角相等”（SAS）、“三边成比例”（SSS）。

用相似解题，三步：

先猜后证

把一个三角形的每条边都放大到原来的 $3$ 倍，面积变成原来的几倍？

3

倍

6

倍

9

倍

27

倍

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

在 $△ A B C$ 里画一条平行于 $B C$ 的线 $D E$ 。 $∠ A D E = ∠ A B C$ （同位角）， $∠ A$ 公共，所以 $△ A D E \sim △ A B C$ 。

拖动

D

。四个比值里，哪三个永远相等？第四个和它们是什么关系？

第 1 / 4 步

Break it

结论： $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

$E$ 跟着 $D$ 走， $D E$ 始终平行于 $B C$ 。

练习 1基础

$△ A B C \sim △ D E F$ ，相似比 $A B : D E = 2 : 3$ 。已知 $△ A B C$ 的面积是 $12$ ，求 $△ D E F$ 的面积。

练习 2基础

$△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ 在 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ 。已知 $A D = 3$ ， $D B = 5$ ， $A C = 20$ ，求 $A E$ 的长。

练习 3提高

梯形 $A B C D$ 中 $A B ∥ C D$ ， $A B = 6$ ， $C D = 10$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于 $O$ 。已知 $△ A O B$ 的面积是 $9$ ，求 $△ C O D$ 的面积。

练习 4挑战

$△ A B C$ 中 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ 。已知 $A D = 4$ ， $D B = 9$ ，求 $C D$ 的长。