观察
- 拖动 ： 和 的面积都在变，但“面积”和“底边”两条比例条的分界线始终上下对齐。
- 把 拖到 的中点附近：两块面积相等。中线把三角形分成面积相等的两半。
- 拖动顶点 ：两块面积一起变大或变小，面积比却一点不动——因为它只跟 有关。
- 虚线 是两块三角形公共的高。这就是全部秘密：，高一样，面积就跟着底走。
先猜后证
的面积是 ， 在 上，。 的面积是多少？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
两块三角形等高，面积比等于 ，所以 占整体的 ：。 不需要知道高是多少，也不需要知道 有多长。
为什么：等高模型
面积比 = 底边比
第 1 / 4 步- 两块三角形
把 切成 （橙）和 （蓝）。
底相同时反过来：面积比 = 高之比。如果底相同、高也相同，面积就相等——哪怕形状完全不同。
共边定理
两个三角形 、 有一条公共边 。连 ，设直线 与直线 交于 ，那么
共边定理的证明：搭一座桥
第 1 / 4 步- 没有公共的高
和 的底相同（都是 ），所以面积比等于高之比。可是这两条高在图里不好用。
共边定理的好处：它不需要作高，也不管 、 在同侧还是异侧，图上有交点就能用。很多“求线段比”的题，换成面积比之后一步就出来。
边和角的关系：大边对大角
同一个三角形里，较长的边对着较大的角，反过来也对。拖动下面的顶点，看最长的边和最大的角是不是总是面对面。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论： 的面积不变 ← 还成立吗？
底 不动， 到 的距离也不变，所以面积不变。
现在 可以随便走。试着让面积回到开始的数值——你会发现，能做到的位置正好都在那条虚线上（或者它关于 对称的那条线上）。
所以“等底等高”不仅是面积相等的充分条件：底固定时，面积相等就逼着顶点留在平行线上。这是用面积证明两直线平行的办法。
练一练
中， 在 上，，。已知 的面积是 ，求 的面积。
提示 · 方向
这两个三角形有什么是公共的？
提示 · 方法
它们的高相同，所以面积比等于底边比 。
提示 · 第一步
，而 。
完整解答
。
的面积是 。 是 的中点， 在 上且 。求 的面积。
提示 · 方向
先求 的面积，再在它里面分。
提示 · 方法
用两次等高模型：先以 为顶点分 ，再以 为顶点分 。
提示 · 第一步
是中点，所以 。 与 以 为公共顶点，底 、 在同一直线上。
完整解答
，所以 。
四边形 的对角线 、 交于 。已知 ，。求 的值（写成一个数）。
提示 · 方向
和 有一条公共边。
提示 · 方法
共边定理：公共边是 ，另外两个顶点是 、， 与 的交点是 。
提示 · 第一步
。
完整解答
。
的面积是 。、、 分别在 、、 上，且 。、、 两两相交，围成一个小三角形。求它的面积。
提示 · 方向
设 与 交于 。先想办法求 的面积。
提示 · 方法
对 用共边定理：，。三块加起来是 。
提示 · 第一步
设 。由 得 ；由 得 。
完整解答
，。由对称性，另外两个“角上”的三角形面积也各是 ，它们互不重叠，所以中间的小三角形面积为 。