观察
- 把两根小棒的端点拖到两条虚线弧的交点：它们碰上了，三角形围成了。虚线弧就是端点能到的所有位置。
- 把底边 慢慢拉长。两条弧的交点越来越低，到 时落在底边上——三根棒躺成一条线段。再长，就没有交点了。
- 把底边缩到 ，右棒调到 ，左棒调到 ：这回是右棒太长——，左棒怎么转也够不着它的端点。三个不等式缺一不可。
- 围成三角形后看角的读数：最长的棒对着最大的角。
三条线段 、、 能围成三角形，当且仅当任意两条之和大于第三条。其实只要验一个：较短的两条之和大于最长的一条。
先猜后证
两根小棒长 和 。第三根小棒的长度是整数，要能围成三角形，有几种选法？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
设第三根长 。它不能太长：；也不能太短：，即 。 所以 ，整数有 ，共 个。
记成一句话：第三边大于两边之差，小于两边之和。
为什么：最短的路是直的
从“围不成”到“围得成”
第 1 / 4 步- 两根棒太短
底边 ，两根棒 、。让它们面对面躺平，是最接近的姿势了，中间还差 。
三个内角
拖动下面三角形的顶点，三个角各自在变，它们的和呢？
内角和为什么是 180°
第 1 / 4 步- 三个角
要证明 。量一量当然是对的，但量不出“永远”。
两个直接的推论：
- 外角等于不相邻的两个内角之和（上面的紫色角 ），所以外角比任何一个不相邻的内角都大。
- 三个角的平均数是 ，所以任何三角形都至少有一个角不小于 ，也至少有一个角不大于 。这是抽屉原理式的想法：总和固定，不可能人人都低于平均。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：三条线段能围成三角形 ← 还成立吗？
、、：。点“帮我尽量合拢”。
把底边换成 ，两根棒换成 和 。先别点按钮，自己拖着两个端点找一找，看最近能靠到多近。
两条虚线弧根本不相交：左棒的端点离 永远是 ，右棒的端点离 永远是 ，而 。缺口最小是 。
练一练
等腰三角形的两条边长分别是 和 ，求它的周长。
提示 · 方向
哪条是腰？有两种可能，都要想。
提示 · 方法
分别假设腰长为 和腰长为 ，各自检验能不能围成三角形。
提示 · 第一步
腰长为 ：三边是 ，而 。
完整解答
腰长为 时围不成。腰长为 时三边为 ，，成立。周长 。
一个三角形三个内角的度数之比是 。最大的角是多少度？
提示 · 方向
三个角加起来是多少？
提示 · 方法
设三个角是 、、，用内角和列方程。
提示 · 第一步
。
完整解答
，，最大角是 。
有五条线段，长度分别是 、、、、。从中任取三条，能围成三角形的取法有多少种？
提示 · 方向
一共只有 种取法，可以全部列出来。
提示 · 方法
每种取法只需检查：较短两条之和是否大于最长一条。按最长边分类不容易漏。
提示 · 第一步
最长边为 ：只有 ，，行。最长边为 ： 不行，、 行。
完整解答
最长边为 ：、 不行；、、、 行。合计 种。
中 ， 与 的平分线相交于点 。求 的度数。
提示 · 方向
不知道 、 各是多少，但知道它们的和。
提示 · 方法
在 里用内角和：。
提示 · 第一步
，所以两个半角之和是 。
完整解答
。一般地，。