分组分解

这一招在做什么

四项的式子 $a x + a y + b x + b y$ ，整体找不到公因式。但是局部有：

都有 a a x + a y + 都有 b b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)

关键在第二个等号后面：两组各自提完公因式，剩下的括号恰好相同，于是它又成了新的公因式。

在上面的操作台里，“括号相同”被画成了“两块一样宽”——一样宽才能摞成一个长方形。

先猜后证

把 $a x + a y + b x + b y$ 的四项分成两组、每组两项，一共有 $3$ 种分法。其中有几种能成功？

只有

1

种

2

种

3

种都行

先选定答案，才能看到结论。

只有一个字母时，照样能分组。

第 1 / 4 步

随手一分
先试试首尾一组、中间一组。第一组 $x^{3} - 18$ 没有公因式，第二组提出 $x$ 剩 $2 x - 9$ 。两个括号不一样，拼不拢。

$(x^{3} - 18) + x (2 x - 9)$
换一种分法
括号相同
还没完

这道题换成“第一、三项一组，第二、四项一组”也行： $x (x^{2} - 9) + 2 (x^{2} - 9)$ 。自己在上面摆一下。

有时候分组不是为了提公因式，而是为了凑出公式。比如四项式 $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$ ，两两分组怎么都不行，但把后三项放在一起：

x^{2} - (y^{2} - 2 y + 1) = x^{2} - (y - 1)^{2} = (x + y - 1) (x - y + 1) .

后三项是一个完全平方，整体又成了平方差。这叫“三一分组”。

Break it

结论：可以用分组分解法

$a x + a y + b x + b y$ ：有两种分法都能让括号相同。

练习 1基础

分解因式： $ab + 3 a + 2 b + 6$ 。

练习 2基础

分解因式： $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ 。

练习 3提高

分解因式： $2 a x - 6 a y - b x + 3 b y$ 。

练习 4挑战

分解因式： $x^{2} - 4 y^{2} + 4 y - 1$ 。