拆项与添项 · 看得见的小蓝本

这一招在做什么

前面的方法都是“看出”公因式或公式。可是有些式子差一点才像公式，比如 $x^{4} + 4$ ：有 $(x^{2})^{2}$ ，有 $2^{2}$ ，偏偏缺中间的 $2 \cdot x^{2} \cdot 2 = 4 x^{2}$ 。

那就自己添上，再减掉——“无中生有”：

x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)

灰色的两项加起来是 $0$ ，式子的值一点没变，但形状变了：前三项是完全平方，后面减去的 $4 x^{2}$ 又恰好是 $(2 x)^{2}$ ，于是成了平方差。

看缺什么：离完全平方（或别的公式）差哪一项？
添上并减去同一项（添项）；或者把现有的一项拆成两项（拆项）。
重新分组，用公式或提公因式。最后乘回去检查。

先猜后证

要把 $x^{4} + x^{2} + 1$ 凑成 $(x^{2} + 1)^{2}$ ，应该添上（并减去）几个 $x^{2}$ ？

个

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：分解 x⁴ + 4

第 1 / 6 步

缺中间项
有 $x^{4}$ ，有 $4$ 。要拼成边长 $x^{2} + 2$ 的正方形，还缺 $4$ 条 $x^{2}$ （图里的空位）。

$x^{4} + 4$
添两条试试
添四条
欠的也是平方
套平方差
反方向行吗

拆项

拆项是把已有的一项拆成两项，目的同样是让分组走得通。

例：分解 x³ − 3x + 2

第 1 / 5 步

三项，没有公因式，也不像公式
试着把中间的 $- 3 x$ 拆开。拆成什么好？让前两项能提公因式、出现熟悉的公式。

$x^{3} - 3 x + 2$
拆成 −x 和 −2x
两两分组
公因式出现了
分到底

什么时候不灵

拆项不是随便拆。把 $x^{2} + 5 x + 6$ 的中间项拆成两项再分组，看看怎样拆才行。

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：拆开后分组能合拢

$5 x = 2 x + 3 x$ ：

练一练

练习 1基础

分解因式： $x^{4} + 64$ 。

练习 2提高

分解因式： $x^{4} + 3 x^{2} + 4$ 。

练习 3提高

分解因式： $x^{4} - 7 x^{2} + 9$ 。

练习 4挑战

用拆项的办法分解： $x^{3} - 7 x + 6$ 。

错误博物馆 · 本站展品

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展品

只添不减

x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 = (x^{2} + 2)^{2}

错在哪里？先想一想，再打开

病因　凭空多了 $4 x^{2}$ ，式子的值变了。第一个等号就不成立：取 $x = 1$ ，左边是 $5$ ，右边是 $9$ 。

添上

4 x^{2}

的同时必须减去

4 x^{2}

：

x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)

。

「添多少，就要减多少」

展品

看到“平方和”就放弃

x^{4} + 4 = (x^{2})^{2} + 2^{2}

是平方和，所以不能分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“ $a^{2} + b^{2}$ 不能分解”说的是 $a$ 、 $b$ 本身当字母看。这里 $2 ab = 4 x^{2}$ 恰好是一个完全平方，添上它再减去它，就出现了平方差。

先问：

2 ab

是不是某个式子的平方？是的话，添项。

x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2}

。

「平方和也可能藏着平方差」