含字母系数的一次方程

这一招在做什么

方程里除了未知数 $x$ ，还有别的字母（比如 $m$ ），它代表一个已知但没说是多少的数。这时任何一次方程都能整理成

a x = b

其中 $a$ 、 $b$ 是含那个字母的式子。接下来不能直接除，要先分类：

图上看得更清楚。左边 $a x$ 画成过原点的斜线 $y = a x$ ，右边 $b$ 画成水平线 $y = b$ ，解就是交点的横坐标。自己拖一拖 $a$ 和 $b$ ，把三种情况都找出来。

把

a

拖到

0

：斜线躺平了。这时再拖

b

。

先猜后证

解关于 $x$ 的方程 $a x = a$ 。小明两边同时除以 $a$ ，得到 $x = 1$ 。他的答案完整吗？

完整，解就是

x = 1

不完整：

a = 0

时任何数都是解不完整：

a = 0

时方程无解

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

整理成 ax = b
含 $x$ 的项移到左边，其余移到右边： $m^{2} x - x = m + 1$ 。左边提出 $x$ 。

$(m^{2} - 1) x = m + 1$
系数什么时候是 0
m ≠ ±1：放心地除
m = 1：无解
m = −1：无穷多解
把三种情况写全

字母多的时候，先说清楚把谁当未知数，其余字母都当已知数。同一个等式，换一个主角，就是另一个方程。

比如路程公式 $s = v t + s_{0}$ 。把 $t$ 当未知数： $v t = s - s_{0}$ ，这正是 $a x = b$ 的样子，系数是 $v$ 。所以

v \neq = 0 时, t = \frac{s - s _{0}}{v} .

$v = 0$ （根本没动）时呢？如果 $s \neq = s_{0}$ ，永远到不了，无解；如果 $s = s_{0}$ ，什么时刻都“在那里”， $t$ 可以是任何数。三种结局和上面一模一样。

Break it

结论：方程 $a x = b$ 恰好有一个解 $x = \frac{b}{a}$

$a$ 不是 $0$ 时，斜线和水平线一定相交，而且只交一次。拖动 $b$ 试试，交点只是换了位置。

练习 1基础

关于 $x$ 的方程 $(k - 3) x = 5$ 无解。求 $k$ 。

练习 2基础

关于 $x$ 的方程 $(a + 2) x = 3 a + 6$ 有无穷多个解。求 $a$ 。

练习 3提高

已知关于 $x$ 的方程 $a (x - 1) = 2 x + 3$ 的解是 $x = 4$ 。求 $a$ 。（答案写成分数。）

练习 4挑战

讨论关于 $x$ 的方程 $m^{2} x + 2 = 4 x + m$ 的解。把三种情况都写在纸上，然后在这里填： $m$ 等于多少时方程无解？