一元一次方程 · 看得见的小蓝本

这一招在做什么

等式像一架平着的天平。它有两条性质：

A = B ⟹ A \pm c = B \pm c, A \times c = B \times c, \frac{A}{c} = \frac{B}{c} (c \neq = 0)

也就是说，两边同时加、减、乘同一个数，或者除以同一个不是 0 的数，天平照样平。解一元一次方程，就是反复用这两条，一步步把 $x$ 单独留在一边：

有分母先去分母，有括号再去括号。
移项：含 $x$ 的项放到一边，数放到另一边。
合并同类项，再把 $x$ 的系数化成 $1$ 。
把得到的数代回原来的方程，检验一遍。

上面的天平只允许“两边一起动”，所以无论你怎么点，它都是平的，只是有的走法绕远路。

先猜后证

先别动笔算太久：方程 $5 x - 4 = 2 x + 8$ 的解是多少？

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：解方程 3x + 5 = x − 7

第 1 / 5 步

看清两边
左盘有 $3$ 个盒子和 $5$ 个砝码，右盘有 $1$ 个盒子和 $7$ 个“负砝码”。两边都有 $x$ ，先让 $x$ 只留在一边。

$3 x + 5 = x - 7$
两边同时减去 x
两边同时减去 5
两边同时除以 2
代回去检验

有分母怎么办

分数系数算起来容易错。先在两边乘上所有分母的最小公倍数，分母就一下子全没了。下面的方程里分母是 $2$ 和 $3$ ，所以先“乘 $6$ ”。乘之前想一想：两边一共四样东西，各变成多少？

解

\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} + 2

。第一步点“乘 6”。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：天平保持平衡，解不变

这里只能两边一起动。随便点，天平都不会歪。

练一练

练习 1基础

解方程： $4 x - 7 = 13$ 。

练习 2基础

解方程： $7 - 2 x = 3 x - 8$ 。

练习 3提高

解方程： $2 (x - 3) - 3 (1 - x) = x + 7$ 。

练习 4挑战

解方程： $\frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 1}{3} = 1$ 。

错误博物馆 · 本站展品

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展品

移项不变号

3 x + 5 = x - 7

，移项得

3 x + x = - 7 + 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“把 $x$ 从右边移到左边”其实是两边同时减去 $x$ ，所以左边多出来的是 $- x$ ，不是 $+ x$ 。 $5$ 移到右边也一样，是两边同时减 $5$ 。

3 x - x = - 7 - 5

，即

2 x = - 12

，

x = - 6

。代回检验：左边

3 \times (- 6) + 5 = - 13

，右边

- 6 - 7 = - 13

。

「移项就是两边同加同减，过了等号要变号」

展品

去分母时漏乘不带分母的项

\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} + 2

，两边乘

6

，得

3 x + 1 = 2 x + 2

，所以

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两边乘 $6$ ，是每一项都乘 $6$ 。 $1$ 和 $2$ 没有分母，可它们也在天平上，也要变成 $6$ 和 $12$ 。代回去一看就露馅：左边 $\frac{3}{2}$ ，右边 $\frac{7}{3}$ 。

3 x + 6 = 2 x + 12

，所以

x = 6

。检验：左边

3 + 1 = 4

，右边

2 + 2 = 4

。

「乘一个数，天平上每一样东西都要乘」