一次方程的应用与变形 · 看得见的小蓝本

这一招在做什么

有些方程乍一看不是 $a x = b$ ，变一变形就是了。最常见的是带绝对值的方程。记住一句话：

∣ x - p ∣ 就是数轴上 x 到 p 的距离 .

要去掉绝对值号，就按“里面是正还是负”把数轴分成几段：

找出让每个绝对值里面等于 $0$ 的点，它们把数轴分成几段。
在每一段里去掉绝对值号，得到一个普通的一次方程，解出来。
检查：解出的数在不在这一段里？不在就舍去。

先猜后证

方程 $∣ x - 2∣ = 5$ 有几个解？

0

个

1

个

2

个

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：解方程 |x + 1| + |x − 3| = 6

第 1 / 7 步

找分界点
$x + 1 = 0$ 得 $x = - 1$ ， $x - 3 = 0$ 得 $x = 3$ 。这两个点把数轴分成左、中、右三段。

$x < - 1, - 1 \leq x \leq 3, x > 3$
中间一段
左边一段
右边一段
全部解
把 6 换成 4
再换成 3

一个应用：循环小数化成分数

$0.272727 \dots$ 是哪个分数？设它是 $x$ 。小数点向右挪两位，循环的尾巴一点没变：

100 x = 27.2727 \dots = 27 + x

这是一个一次方程，放到天平上解：

把 0.2727… 化成分数

第 1 / 4 步

列方程
$100$ 个 $x$ 和“ $27$ 再加一个 $x$ ”一样重。

$100 x = x + 27$
两边同时减去 x
两边同时除以 99
检验

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：方程 $∣ x - 2∣ = c$ 有解

$c = 3$ ：离 $2$ 三个单位的点有两个。点“显示全部解”核对一下。

练一练

练习 1基础

解方程： $∣ x + 3∣ = 4$ 。

练习 2基础

把循环小数 $0.444 \dots$ 化成分数。

练习 3提高

解方程： $∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ = 10$ 。

练习 4挑战

解方程： $∣3 x - 2∣ = x + 4$ 。

错误博物馆 · 本站展品

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展品

去绝对值只写一种情况

∣ x - 2∣ = 5

，所以

x - 2 = 5

，

x = 7

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　绝对值等于 $5$ 的数有两个： $5$ 和 $- 5$ 。数轴上离 $2$ 有 $5$ 个单位的点，左右各有一个。

x - 2 = 5

或

x - 2 = - 5

，所以

x = 7

或

x = - 3

。

「绝对值是距离，左右两边都要找」

展品

分段解出来就当成解

∣2 x - 1∣ = x - 2

。当

2 x - 1 \geq 0

时

2 x - 1 = x - 2

，

x = - 1

；当

2 x - 1 < 0

时

1 - 2 x = x - 2

，

x = 1

。所以

x = - 1

或

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每个结果只在它自己那一段里才算数。 $x = - 1$ 不满足 $2 x - 1 \geq 0$ ； $x = 1$ 不满足 $2 x - 1 < 0$ 。代回原方程也看得出来： $x = 1$ 时左边是 $1$ ，右边是 $- 1$ 。

两个结果都不在各自的段里，全部舍去：原方程无解。（也可以一开始就发现：左边不小于

0

，所以要

x \geq 2

，这时

2 x - 1 = x - 2

给出

x = - 1

，矛盾。）

「分段求出的数，要回到那一段去检查」