二元一次方程组

这一招在做什么

一个二元一次方程（比如 $x + y = 5$ ）有无数组解，把它们全画出来，是一条直线。两个方程组成方程组，要找的是同时满足两个方程的 $(x, y)$ ——两条直线的交点。

怎么算出交点？把两个方程各乘一个数再相加：

k_{1} \times ① + k_{2} \times ②

交点同时让 ① 和 ② 成立，所以也一定让这个新方程成立：新直线永远穿过交点。如果我们挑的 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 正好让某个未知数的系数变成 $0$ ，新方程就只剩一个未知数，新直线变成竖直或水平的——交点的一个坐标直接读出来了。这就是加减消元：

选一个要消去的未知数，把它在两个方程里的系数乘成相同或相反。
两式相减或相加，消去它，解出另一个未知数。
把解出的值代回任意一个原方程，求出被消去的那个。
代回两个原方程检验。

先猜后证

方程组 $2 x + 3 y = 12$ ， $2 x + 3 y = 6$ 有几组解？

0

组

1

组

2

组无数组

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：解方程组 3x + 2y = 12，5x − 3y = 1

第 1 / 6 步

直接相加，不行
① + ② 得到 $8 x - y = 13$ ，两个未知数都还在。新直线穿过交点，但它是斜的，读不出坐标。

$(3 x + 2 y) + (5 x - 3 y) = 12 + 1$
瞄准 y
相加，y 消失
代回去求 y
也可以先消 x
检验

代入也是消元

消元的办法不止一种。把一个未知数用另一个表示出来，代进另一个方程，同样只剩一个未知数。

一题多解

解方程组 $x + 2 y = 7$ （①）， $3 x - 2 y = 5$ （②）。

加减消元

$y$ 的系数是 $2$ 和 $- 2$ ，直接相加：

4 x = 12, x = 3

代入 ①： $3 + 2 y = 7$ ， $y = 2$ 。

代价系数已经相反时最快；否则要先乘倍数。

代入消元

由 ① 得 $x = 7 - 2 y$ ，代入 ②：

3 (7 - 2 y) - 2 y = 5, 21 - 8 y = 5, y = 2

于是 $x = 7 - 2 \times 2 = 3$ 。

代价有系数为 1 的未知数时顺手；否则会出现分数。

两种做法答案一样： $x = 3$ ， $y = 2$ 。选哪种，看哪个系数顺眼。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：方程组恰好有一组解

$x + 2 y = 4$ 和 $2 x - y = 3$ ： $1 \times (- 1) - 2 \times 2 = - 5 \neq = 0$ 。两条线方向不同，必定交于一点，而且只交于一点。

练一练

练习 1基础

解方程组 $x + y = 10$ ， $x - y = 4$ 。（先写 $x$ 再写 $y$ ，用逗号隔开。）

练习 2基础

解方程组 $2 x + 3 y = 13$ ， $4 x - y = 5$ 。（先写 $x$ 再写 $y$ 。）

练习 3提高

解方程组 $3 x + 4 y = 10$ ， $5 x - 6 y = 4$ 。（先写 $x$ 再写 $y$ 。）

练习 4挑战

关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $2 x + m y = 6$ ， $x - 2 y = 3$ 有无数组解。求 $m$ 。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：解方程组 3x + 2y = 12，5x − 3y = 1

代入也是消元

加减消元

代入消元

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

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相减时只变了一半的符号

乘倍数时漏了右边