这一招在做什么
三个未知数、三个方程，办法只有一个字：消。
每一步都是上一站学过的加减消元，只是多做几次：
- 挑一个最容易消的未知数（系数是 ，或者有的方程里本来就没有它）。
- 用同一个方程去消另外两个方程里的这个未知数，得到两个少一个未知数的方程。
- 在这两个新方程之间再消一次，只剩一个未知数，解出来。
- 回代：把解出的值一层层代回去，求出其余的未知数。最后代回原方程检验。
上面的操作台把每个方程写成一行系数。系数变成 的地方显示为“·”。消元做对了，“·”会排成一级级台阶。
先猜后证
只有两个方程：，。三个未知数里，哪一个的值已经确定了？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
两式相减， 和 同时消失：，。
代回去只能得到 ：、 各是多少仍然不知道（ 和 可以， 和 也可以）。方程比未知数少，一般定不下所有未知数——但有时能定下其中一个，或者某个整体（这里是 ）。
跟着做一遍
例：解方程组 2x + y − z = 3，x − y + 2z = 5，3x + 2y + z = 10
第 1 / 7 步- 先挑一个未知数
在 ① 里的系数是 ，在 ② 里是 ：消 最省事。决定了：两次都消 ，都借用 ①。
先看一眼结构
按部就班一定能做出来，但动手之前先看一眼，有时能省一大半力气。
一题多解
解方程组 （①），（②），（③）。
按部就班
① − ② 消去 ：。
与 ③ 相加：，。
回代：由 ① 得 ，由 ③ 得 。
代价不用动脑，步骤多一些。
三式相加
三个方程里 、、 各出现两次。全部加起来：
用它分别减去 ①、②、③：，，。
代价要先看出三个方程“长得一样”。
三个字母地位相同（轮换）的方程组，先求整体 ，往往最快。
什么时候不灵
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：三元一次方程组恰好有一组解 ← 还成立吗？
，，：三个方程互相独立。消元到底，每个未知数都被确定。
把 ③ 换成 。它其实就是 ① + ②，是一句“废话”。照常消元：用 ① 消去 ②、③ 中的 ，再用 ② 消去 ③ 中的 。看看 ③ 最后变成什么。
③ 化成了 ：它没有提供任何新信息。实际上只有两个方程，定不下三个未知数，方程组有无数组解。
如果把 ③ 的右边改成 （），同样的步骤会得到 ：③ 与 ①② 互相矛盾，方程组无解。
练一练
已知 ，，。求 。
提示 · 方向
后两个方程很简单，能不能把 和 都用 表示？
提示 · 方法
，，代入第一个方程。
提示 · 第一步
。
完整解答
，。（于是 ，，检验：。）
解方程组 ，，。（依次写 、、，用逗号隔开。）
提示 · 方向
的系数是 、、，消它最方便。
提示 · 方法
第一个方程加第三个、第二个方程加第三个，都能消去 。
提示 · 第一步
得到 和 。
完整解答
；代入 得 ；代入第三个方程 得 。检验：，。
解方程组 ，，。（依次写 、、。）
提示 · 方向
三个方程长得一样，三个字母地位相同。
提示 · 方法
三式相加，先求 。
提示 · 第一步
，所以 。
完整解答
用 分别减去三个方程：，，。
已知 ，。求 。
提示 · 方向
两个方程三个未知数，、、 各自求不出来。但题目问的是一个整体。
提示 · 方法
观察两个方程的系数：、、 分别是多少？
提示 · 第一步
第二个方程减去第一个方程。
完整解答
，即 。