学会配方

这一招在做什么

上面的拼图只说了一句话：

x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2}

$x^{2} + b x$ 是一个缺了角的正方形（L 形）。缺的角是个小正方形，边长是 $\frac{b}{2}$ ——也就是一次项系数的一半。补上它，就成了完全平方。这个动作叫配方：

看一次项系数 $b$ ，取它的一半 $\frac{b}{2}$ 。
加上 $(\frac{b}{2})^{2}$ ，同时再减掉它（或者在等式两边同时加）。
把前三项写成 $(x + \frac{b}{2})^{2}$ ，剩下的常数合并。

$b$ 是负数时，图上画不出“负的长度”，但代数一模一样： $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ 。

先猜后证

$x^{2} + 10 x$ 还缺一个角。要补上多少，它才是一个完全平方？

5

10

25

100

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

配方最直接的用处是解方程。方程 $x^{2} + 6 x = 16$ 的意思是：L 形的面积等于 $16$ 。

例：解方程 x² + 6x = 16

第 1 / 5 步

先随便试一个 x
图里 $x = 4$ ，面积是 $4^{2} + 6 \times 4 = 40$ ，比 $16$ 大得多。一个个试太慢，换个办法：把 L 形补成正方形。

$x^{2} + 6 x = 16$
一次项劈成两半
搬一条到下面
两边同时补上 9
开平方

验一下 $x = - 8$ ： $(- 8)^{2} + 6 \times (- 8) = 64 - 48 = 16$ ，对。图只能画出正的那个根，代数把两个都找到了。

首项系数不是 1

先把首项系数提出来，在括号里面配方。

例：把 2x² − 12x + 7 配方

第 1 / 4 步

提出 2
只提前两项就够了，常数项先放在外面。

$2 x^{2} - 12 x + 7 = 2 (x^{2} - 6 x) + 7$
在括号里补角
写成平方
乘开括号

平方的地板

配方还有第二个用处，而且更妙。任何实数的平方都不小于 0： $0$ 是一层踩不穿的地板。

所以几个平方加在一起，想让和等于 $0$ ，只有一个办法——每一项都是 0。拖动下面的滑块，试试能不能让一根柱子“钻到地下”去抵消另一根。

让“总和”变成

0

。有几种办法？

于是一个方程可以同时钉住两个未知数。只要先把它配成平方和：

例：已知 x² + y² − 6x + 4y + 13 = 0，求 x + y

第 1 / 6 步

一个方程，两个未知数？
平常这样的方程有无数组解。但先别放弃，把含 $x$ 的放一起，含 $y$ 的放一起。

$(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) + 13 = 0$
各自需要补多少
写成平方和
压第一根柱子
压第二根柱子
回答问题

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：方程“平方和 $= 0$ ”恰好有一组解

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ：常数 $5 = 1 + 4$ ，正好分给两个平方。把两根柱子都压到地板上，总和为 $0$ ，解只有 $x = 1$ 、 $y = - 2$ 。

练一练

练习 1基础

$x^{2} - 8 x + m$ 是一个完全平方式。求 $m$ 。

练习 2基础

用配方法解方程 $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ 。（两个根用逗号隔开。）

练习 3提高

已知 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 10 b + 29 = 0$ ，求 $a + b$ 。

练习 4挑战

$x$ 、 $y$ 取任意实数，求 $x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} - 4 y + 5$ 的最小值。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：解方程 x² + 6x = 16

首项系数不是 1

例：把 2x² − 12x + 7 配方

平方的地板

例：已知 x² + y² − 6x + 4y + 13 = 0，求 x + y

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

只加不减

括号外面还有个 2

“一个方程两个未知数，解不出来”