一元二次方程的解法

这一招在做什么

只含一个未知数、最高次数是 $2$ 的整式方程，整理之后都长这样：

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)

解它有四条路。它们得到的根一模一样，只是费的力气不同：

先整理：把所有项移到左边，写成 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，认清 $a$ 、 $b$ 、 $c$ （连同符号）。
先挑省力的：能写成 $()^{2} =$ 一个数，就直接开平方；左边能十字相乘，就分解成两个一次式，让每个因式等于 $0$ 。
不行就配方或用公式： $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ 。公式其实就是“把配方做了一遍，记下结果”。
代回去检验，尤其是做过去分母、开平方这类动作之后。

上面的图说的是同一件事：方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，就是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 落在 $x$ 轴上的那些点。

先猜后证

小明解 $x^{2} = 5 x$ ：“两边同时除以 $x$ ，得 $x = 5$ 。” 这个方程实际上有几个实数根？

1

个，就是

5

2

个

0

个

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 用整数十字相乘凑不出来（积是 $4$ 、和是 $- 6$ 的整数对不存在）。这时配方永远管用。

例：用配方解 x² − 6x + 4 = 0

第 1 / 5 步

看清方程
$a = 1$ ， $b = - 6$ ， $c = 4$ 。图上抛物线和 $x$ 轴有两个交点，但都不在整数上——所以十字相乘才凑不出来。

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$
常数项搬到右边
两边都加上一次项系数一半的平方
开平方，正负都要
用公式对一遍

对一般的 $a x^{2} + b x + c = 0$ 把这几步原样做一遍，就得到求根公式：先除以 $a$ ，再配方，

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} ⟹ x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} .

同一道题，三条路

一题多解

解方程 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ 。

因式分解

十字相乘： $2 x^{2} - 5 x - 3 = (2 x + 1) (x - 3)$ （交叉相加 $2 \cdot (- 3) + 1 \cdot 1 = - 5$ ）。

两个数的积是 $0$ ，至少有一个是 $0$ ： $2 x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$ 。

所以 $x = - \frac{1}{2}$ 或 $x = 3$ 。

代价最快，但要凑得出来。

公式

$a = 2, b = - 5, c = - 3$ 。

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 25 + 24 = 49$ 。

$x = \frac{5 \pm 7}{4}$ ，即 $x = 3$ 或 $x = - \frac{1}{2}$ 。

代价不用动脑筋凑，但算术多，符号容易错。

配方

两边除以 $2$ ： $x^{2} - \frac{5}{2} x = \frac{3}{2}$ 。

两边加 $(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ ： $(x - \frac{5}{4})^{2} = \frac{49}{16}$ 。

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{7}{4}$ ，即 $x = 3$ 或 $x = - \frac{1}{2}$ 。

代价步骤最长，却说明了公式从哪里来。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $a x^{2} + b x + c = 0$ 可以用求根公式来解

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、 $c = - 3$ ：公式给出 $x = \frac{- 2 \pm 4}{2}$ ，也就是 $1$ 和 $- 3$ ，和图上的两个交点一致。

练一练

练习 1基础

解方程 $(x - 2)^{2} = 9$ 。（两个根用逗号隔开。）

练习 2基础

解方程 $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ 。

练习 3提高

解方程 $(x - 1) (x + 2) = 10$ 。

练习 4提高

把 $x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 配方成 $(x - m)^{2} = n$ 的样子，求 $n$ 。

练习 5挑战

已知 $x = 2$ 是方程 $x^{2} + k x - 10 = 0$ 的一个根，求另一个根。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：用配方解 x² − 6x + 4 = 0

同一道题，三条路

因式分解

公式

配方

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

两边同除以 x，丢掉一个根

开平方只写了正的那个

套公式时把 −b 的符号弄丢