函数与一元二次方程

观察

点“函数”卡片，拖动 $x$ 。图上的点什么时候正好落在 $x$ 轴上？那时 $y$ 是多少？
点“方程”卡片。方程的两个根，和图上的哪两个点是一回事？
把 $c$ 一格一格往上拖。两个交点怎样移动？什么时候并成一个？再往上呢？同时看 $Δ$ 的读数。
换几组 $b$ 、 $c$ 。两个根的正中间，总是图上的哪条线？

同一个式子 $a x^{2} + b x + c$ ，问法不同，名字就不同：

问“ $x$ 变， $y$ 怎么跟着变”——它是函数；
问“哪些 $x$ 让它等于 $0$ ”——它是方程；
问“哪些 $x$ 让它大于 $0$ ”——它是不等式（下一站）。

先猜后证

抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴恰好只有一个交点。 $c$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么：判别式量的是顶点的高度

y = x² − 2x + c：c 变，交点个数跟着变

第 1 / 5 步

先配方
$y = x^{2} - 2 x + c = (x - 1)^{2} + (c - 1)$ 。顶点是 $(1, c - 1)$ ，开口向上。

$y = (x - 1)^{2} + (c - 1)$
顶点在 x 轴下方
顶点正好在 x 轴上
顶点在 x 轴上方
一般的结论

根在哪里：根的分布

有时不只问“有没有根”，还要问“根在哪儿”。比如：方程的两个根都大于 $1$ 。这种问题直接解根很麻烦，画图却很简单：把抛物线摆到满足要求的位置，看它必须满足什么。

拖

b

、

c

或

x

轴上的

k

。每换一个目标，需要的条件就不一样——先自己猜猜要哪几条。

开口向上时，五种常见目标对应的条件是：

目标	条件
两根都大于 $k$	$Δ \geq 0$ ，对称轴在 $k$ 右边， $f (k) > 0$
两根都小于 $k$	$Δ \geq 0$ ，对称轴在 $k$ 左边， $f (k) > 0$
一根小于 $k$ ，一根大于 $k$	$f (k) < 0$ （只要这一条！）
两根都在 $m$ 、 $n$ 之间	$Δ \geq 0$ ，对称轴在 $m$ 、 $n$ 之间， $f (m) > 0$ ， $f (n) > 0$
恰有一根在 $m$ 、 $n$ 之间	$f (m) \cdot f (n) < 0$

表格不用背。每一条都只是在说图上的一件事：碰得到 $x$ 轴、整体偏左还是偏右、某个点在两根之外还是之间。

例：x² − 2mx + m + 2 = 0 的两根都大于 1，求 m 的范围

第 1 / 5 步

先随便取 m = 0
方程是 $x^{2} + 2 = 0$ 。图象根本碰不到 $x$ 轴，连根都没有。第一个条件： $Δ \geq 0$ 。

$Δ = 4 m^{2} - 4 (m + 2) \geq 0$
m = −2：有根，但在左边
m = 4：轴够靠右，可是……
m = 2.5：三个灯全亮
把三个条件联立

一题多解

$k$ 取什么值时，方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 的一个根大于 $3$ ，另一个根小于 $3$ ？

看图：f(3) < 0

开口向上。 $3$ 夹在两根之间，等于说 $x = 3$ 处的图象在 $x$ 轴下方：

f (3) = 9 - 12 + k < 0, k < 3.

图象既然有一点在 $x$ 轴下方，又开口向上，就一定穿过 $x$ 轴两次， $Δ > 0$ 自动成立。

代价一步到位；要想清楚为什么不用再管 Δ。

韦达定理

设两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，要求 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) < 0$ 。展开并用 $x_{1} + x_{2} = 4$ 、 $x_{1} x_{2} = k$ ：

x_{1} x_{2} - 3 (x_{1} + x_{2}) + 9 = k - 12 + 9 < 0, k < 3.

还要有两个实根： $Δ = 16 - 4 k > 0$ ， $k < 4$ 。两个条件合起来还是 $k < 3$ 。

代价纯代数，不用画图；要多检查一次 Δ。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：对称轴在 $k$ 右边，且 $f (k) > 0$ ，则两根都大于 $k$

三个条件一起用的时候，“条件全满足”和“两根真的都大于 $k$ ”总是同时成立、同时不成立。随便拖，下面的结论框不会报警。

练一练

练习 1基础

抛物线 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 与 $x$ 轴交于两点，写出它们的横坐标。

练习 2基础

抛物线 $y = x^{2} + 6 x + m$ 与 $x$ 轴恰好只有一个交点，求 $m$ 。

练习 3提高

抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 8$ 在 $x$ 轴上截出一条线段。这条线段有多长？

练习 4提高

方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ 的一个根大于 $1$ ，另一个根小于 $1$ 。满足条件的最大整数 $m$ 是多少？

练习 5挑战

方程 $x^{2} - 2 m x + m + 6 = 0$ 有两个实数根（可以相等），而且都大于 $1$ 。这样的整数 $m$ 有几个？

观察

为什么：判别式量的是顶点的高度

y = x² − 2x + c：c 变，交点个数跟着变

根在哪里：根的分布

例：x² − 2mx + m + 2 = 0 的两根都大于 1，求 m 的范围

看图：f(3) < 0

韦达定理

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

“有两个实数根”，忘了它得先是二次方程

“只有一个交点”，只想到相切