函数与二次不等式

观察

在 $> 0$ 和 $< 0$ 之间切换。阴影搬到了哪里？两种解合起来几乎是整条 $x$ 轴——还缺哪两个点？
换成 $\geq 0$ 。端点的小圆圈有什么变化？为什么？
把 $a$ 拖成负数。同样是“ $> 0$ ”，解从“两边”变成了“中间”。图象上发生了什么？
让 $a$ 回到正数，把 $c$ 往上拖，直到图象离开 $x$ 轴。这时 $> 0$ 的解是什么？ $< 0$ 的解呢？

解 $a x^{2} + b x + c > 0$ ，就是问：图象的哪一部分在 $x$ 轴上方？ 那一部分正下方的 $x$ ，就是解。

先猜后证

不等式 $x^{2} > 4$ 的解是什么？

x > 2

x > \pm 2

x < - 2

或

x > 2

- 2 < x < 2

先选定答案，才能看到结论。

为什么：三步解一个二次不等式

例：解 x² − x − 6 < 0

第 1 / 4 步

第一步：把它看成函数
设 $y = x^{2} - x - 6$ 。不等式问的是：哪些 $x$ 让 $y$ 是负数？比如 $x = 1$ 时 $y = - 6$ ，算一个。

$y = x^{2} - x - 6$
第二步：先解方程，找到分界点
第三步：看图象在哪一侧
换个不等号试试

很多人背“大于取两边，小于取中间”。这句话只在 $a > 0$ 且有两个不等实根 时才对——图一画，自然就知道什么时候该用。

a 是负数时

一题多解

解不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ 。

直接看图

$y = - x^{2} + 2 x + 3$ 开口向下，与 $x$ 轴交于 $- 1$ 和 $3$ 。开口向下的抛物线，在 $x$ 轴上方的是两根之间的那一拱： $- 1 < x < 3$ 。

代价不用变形，不会弄错不等号；要画对开口方向。

先乘 −1

两边同乘 $- 1$ ，不等号变向： $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 。开口向上，“小于”取两根之间： $- 1 < x < 3$ 。

代价变成熟悉的开口向上；不等号必须变向，这是最容易错的一步。

两张图上下颠倒， $x$ 轴上的粗线却一模一样——这就是“乘 $- 1$ ，不等号变向”在图上的样子。

对所有 x 都成立

如果整条抛物线都浮在 $x$ 轴上方，那么 $a x^{2} + b x + c > 0$ 对每一个 $x$ 都成立。这需要两件事：开口向上（ $a > 0$ ），而且碰不到 $x$ 轴（ $Δ < 0$ ）。

x^{2} + 2 x + 3 > 0

的解是全体实数。把

c

往下拖：到哪一格开始，就不再“恒成立”了？

例： $x^{2} - 2 x + m > 0$ 对一切实数 $x$ 成立，求 $m$ 的范围。开口已经向上，只需 $Δ = 4 - 4 m < 0$ ，所以 $m > 1$ 。换个角度看： $x^{2} - 2 x + m = (x - 1)^{2} + (m - 1)$ ，最小值是 $m - 1$ ，最小值都大于 $0$ ，其余的自然更大。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解在两根之外（“大于取两边”）

$a > 0$ 时开口向上， $x$ 轴上方的部分确实是两根之外的两段。

练一练

练习 1基础

不等式 $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ 有几个整数解？

练习 2基础

满足 $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ 的 $x$ 中，最大的是多少？

练习 3提高

不等式 $- x^{2} + 4 x + 5 > 0$ 有几个整数解？

练习 4提高

不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解恰好是 $- 1 < x < 4$ 。写出 $x^{2} + b x + c$ 。

练习 5挑战

$x^{2} - 2 k x + k + 2 > 0$ 对一切实数 $x$ 都成立。这样的整数 $k$ 有几个？

观察

为什么：三步解一个二次不等式

例：解 x² − x − 6 < 0

a 是负数时

直接看图

先乘 −1

对所有 x 都成立

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

两边乘 −1，不等号没变向

把 x² > 4 当成方程来“开方”

“恒成立”漏掉二次项系数为 0