一句话
东西比抽屉多，就一定有一个抽屉里装了不止一个。
道理一句话就能说完，但它的威力在于：你根本不用知道东西是怎么放的。
-
假设能躲开 假设有一种放法，5 个抽屉里每个都不超过 1 个球。我们来数一数这种放法最多能放几个球。
-
最多只能放 5 个
-
可是球有 6 个
-
一般的说法
先猜后证
把 13 个球放进 4 个抽屉。不管怎么放，球最多的那个抽屉里至少有几个球？
个
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
如果每个抽屉都不超过 3 个，最多只能放 4×3=12 个。球有 13 个，所以必有一个抽屉里至少有 4 个。
在下面试试：能不能让每个抽屉都不超过 3 个？然后改一改球数和抽屉数，看“躲不开的个数”怎么变。
规律：m 个球、n 个抽屉，最满的抽屉至少有 ⌈m/n⌉ 个（m÷n 向上取整）。真正的题目里，没有人告诉你什么是“球”、什么是“抽屉”。下面四站，同一个原理，抽屉却长得完全不一样——而且每一站里，选对抽屉就等于解完了题。
第 1 站 · 整数：按余数分
任意 6 个整数里，一定有两个数的差是 5 的倍数。 为什么？
先在 1∼30 里挑数，试着让任何两个数的差都不是 5 的倍数，看最多能挑几个。然后在“分抽屉”里逐个试：哪一种分法能证明“最多 5 个”？
“按个位数字”分也没有错——同抽屉的两数差是 10 的倍数——可是抽屉有 10 个，太多了，只能说明“挑 11 个必出事”。
除以 5 的余数只有 0,1,2,3,4 五种。6 个数、5 个抽屉，必有两个数余数相同；余数相同，差就是 5 的倍数。抽屉 = 余数。
第 2 站 · 配对：把“会出事的两个”关在一起
从 1∼20 里任取 11 个数，一定有两个数的和是 21。
先猜后证
先别看下面。要证明这句话，你会把 1∼20 分成怎样的 10 个抽屉？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
我们要的结论是“和为 21”，那就让同一个抽屉里的两个数和正好是 21：(1,20),(2,19),…,(10,11)，一共 10 个抽屉。取 11 个数，必有两个来自同一个抽屉。
三种分法都试一下。前两种为什么“太松”？诀窍是倒过来想：想让谁和谁撞上，就把它们放进同一个抽屉。
第 3 站 · 几何：把图形切开
边长为 2 的正方形里任意放 5 个点，一定有两个点的距离不超过 2。
先拖动这 5 个点，尽量让它们互相远离。然后选一种切法。
三种切法都是 4 个抽屉，都保证“有两点同抽屉”。只有一种能保证这两点离得够近。
抽屉的个数对了还不够，抽屉的形状也要对：同一个抽屉里最远的两点，不能超过你要证的那个距离。
第 4 站 · 同一批数，两种抽屉
抽屉是为结论量身定做的。同样是“从 1∼16 里取 9 个数”，结论不同，抽屉就完全不同。
一题多解
从 1∼16 里任取 9 个数。证明：(甲) 一定有两个数互质；(乙) 一定有两个数，其中一个是另一个的倍数。
(甲) 互质：相邻的数关在一起
把 (1,2),(3,4),…,(15,16) 当作 8 个抽屉。9 个数里必有两个同抽屉，它们相邻，所以互质。
代价抽屉好想：相邻两个整数一定互质。
(乙) 倍数：把“翻倍链”关在一起
每个数不停除以 2，最后剩下一个奇数。把剩下同一个奇数的数放在一起：{1,2,4,8,16}、{3,6,12}、{5,10}……1∼16 里有 8 个奇数，所以正好 8 个抽屉。同抽屉的两个数，大的是小的 2 倍、4 倍、8 倍……
代价抽屉不好想，但想到了就是一步。
两边都把另一边的抽屉也放进去了——互相换着试试，看它们为什么不管用。
如果东西不比抽屉多
结论：必有两点相距不超过 2 ← 还成立吗？
5 个点、4 个小正方形。选“2×2 个小正方形”，随便怎么拖，总有一格被描粗：里面挤了两个点。
去掉一个点，只剩 4 个点。现在把它们拖到正方形的四个角附近，看“最近的两点”能拉到多远。
四个点各占一个角，两两距离至少是 2，比 2 大。点不比抽屉多，原理就不再保证任何事。 这也说明“5 个点”里的 5 不能再小了。
练一练
袋子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各 10 个。闭着眼睛摸，至少要摸出多少个，才能保证其中有 3 个球颜色相同？
提示 · 方向最倒霉的时候，摸了很多个还没有 3 个同色的。最多能倒霉到摸多少个？
提示 · 方法颜色是抽屉。每个抽屉先装到“差一个就成功”，再加 1。
提示 · 第一步每种颜色各摸到 2 个，一共 4×2=8 个，这时还没有 3 个同色。
完整解答8 个时可以还没成功；第 9 个不管是什么颜色，那种颜色就有 3 个了。答案是 4×2+1=9 个。
任意取 n 个整数，要保证其中一定有两个数的差是 7 的倍数。n 最小是多少？
提示 · 方向两个数的差是 7 的倍数，说明这两个数有什么共同点？
提示 · 方法按除以 7 的余数分抽屉。一共几个抽屉？
提示 · 第一步余数有 0,1,…,6 共 7 种。7 个数可以余数各不相同，比如 1,2,…,7。
完整解答7 个数还躲得开（1∼7 两两的差都不是 7 的倍数）；8 个数、7 个抽屉，必有两个余数相同，差是 7 的倍数。所以 n 最小是 8。
从 1∼30 这 30 个数里，至少要取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于 31？
提示 · 方法把和为 31 的两个数配成一个抽屉，数一数抽屉的个数。
提示 · 第一步(1,30),(2,29),…,(15,16)，共 15 个抽屉，每个数恰好在一个抽屉里。
完整解答每个抽屉取一个（比如取 1∼15），15 个数里没有和为 31 的。取 16 个，必有两个同抽屉，和为 31。答案是 16。
证明：在边长为 3 的正方形里任意放 10 个点，一定有两个点的距离不超过 2。
提示 · 方向10 个点，需要几个抽屉？每个抽屉里最远的两点要不超过
2。
提示 · 方法把大正方形切成若干个边长为 1 的小正方形。
提示 · 第一步切成 3×3=9 个边长为 1 的小正方形。10 个点放进 9 个小正方形。
完整解答必有两个点落在同一个小正方形里（在分界线上的点随便算给哪一边）。边长为
1 的正方形里，两点的距离最多是对角线长
12+12=2。所以这两点的距离不超过
2。
从 1∼24 里取出一些数，要求其中没有哪个数是另一个数的倍数。最多能取多少个？（既要说明取不了更多，也要真的取出这么多个。）
提示 · 方向这是第 4 站 (乙) 的同一个问题，只是换了范围。需要两件事：一个上界，一个例子。
提示 · 方法上界：按“最大奇因数”分抽屉，每个抽屉最多取 1 个。例子：找一批互相都不是倍数的数。
提示 · 第一步1∼24 里的奇数有 12 个，所以有 12 个抽屉，最多取 12 个。
完整解答上界：同抽屉的两个数，大的是小的 2k 倍，所以每个抽屉最多取 1 个，总共最多 12 个。例子：取 13,14,…,24 这 12 个数——其中最小的数的 2 倍是 26，已经超过 24，所以谁也不是谁的倍数。答案是 12。