这一招在做什么
计数只有一个要求：每个对象恰好数一次——不漏掉，也不重复。四件工具就够用了：
- 一件事要一步接一步做完：每一步的选法数相乘（乘法原理）。上面那棵树，每长一层，末梢就翻几倍。
- 一件事分成互不重叠的几类：各类的个数相加（加法原理）。
- 如果每个对象都被数了 遍：总数除以 。
- 如果几类有重叠：把多数的部分减回去（容斥）。
先猜后证
去博物馆：可以坐公交（ 条线路任选一条），也可以坐地铁（ 条线路任选一条）。到了以后，再从 个入口里选一个进去。一共有多少种走法？
“公交或地铁”是分类， 种到法；“到了以后接着选入口”是分步，再乘 。合起来 。
下面这棵树里，虚线是“或”，实线是“接着”。把它一层层长出来，数数末梢。
跟着做一遍：排队
从甲、乙、丙、丁 个人里选 个人，排成一排照相。有多少种排法？
例：4 个人里选 3 个排成一排
第 1 / 5 步- 把事情拆成几步
一排有三个位置。先定左边的人，再定中间的，最后定右边的——这是分步，要用乘法。树现在只有一个根。
注意第二步的理由：选法的内容随第一步而变（甲站了左边，中间就是乙丙丁），但选法的个数始终是 。乘法原理只需要“个数不变”。
数重了：除一下
如果只是选 个人去值日，不讲顺序呢？“甲乙”和“乙甲”是同一个小组。
下面左边是所有讲顺序的排法，右边是真正不同的小组。点任意一张卡片，看它在左边有几个“同伴”。
先猜后证
从 个人里选 个人组成一个小组（不讲顺序）。讲顺序的排法有 种。小组有多少种？
个人自己内部可以排成 种顺序，所以每个小组在 种排法里出现了 次：
这种“不讲顺序”的选法叫组合。排列数除以“内部排队的方法数”就得到组合数。
同一个办法还能对付“围成一圈”。 个人围着圆桌坐，转一转算同一种坐法：
街道上数路线
从 A 走到 B，只许向右或向上。到某个路口的路线，最后一步要么从左边来，要么从下边来——两类互不重叠，所以
先猜后证
先猜一个小的：横 格、竖 格的街区，从左下角走到右上角（只向右或向上），有几条路线？
边上的路口都只有 条路；中间是 ；再往后 、；终点 。
下面是大一点的街区。一个路口一个路口地点，把数填到 B。填出来的这张数表，就是斜着放的杨辉三角。
换一个角度：横 格、竖 格，每条路线都恰好走 步，其中 步向上。哪 步向上一旦选定，路线就定了，所以路线数是 ——和一格一格加出来的一样。
例：中间有一个路口在修路
第 1 / 5 步- 路障处写 0
路口 封了：经过它的路线一条也不算，所以它的数是 。最下面一行和最左面一列照旧是 。
数多了：减回去
中，是 的倍数或 的倍数的数有多少个？两类有重叠，直接相加会把重叠部分数两遍。
在下面的图里，给每一项选“加”或“减”。每个数旁边的小标签告诉你它现在被数了几次——目标是圈里的每个数恰好一次。
三个集合时，事情多了一层。先自己试试：
先猜后证
中，是 、、 之中至少一个数的倍数的，有多少个？
加上三个单独的：。减去两两重叠的：，剩 。可是 这个数被加了 次、又被减了 次，现在一次也没数到——得加回来：。
什么时候不灵
“数重了就除”有一个前提：每个对象被重复数的次数相同。
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：总数 ÷ 重复次数 = 真正的个数 ← 还成立吗？
用字母 A、A、B 拼三个字母的“单词”。先把两个 A 当成不同的 A₁、A₂，有 种排法。每个单词都被数了 次，所以是 个。
颗黑珠、 颗白珠串成一个手串，转一转算同一种。有人这样算：“ 颗珠子排成一圈，把位置编号有 种；每个手串能转 下，所以是 种。”
点开右边的每一种手串，看看它们各被数了几次。
“黑白黑白”相间的那一串只占了 张卡片，另一串占了 张——次数不一样，就不能一除了之。真正不同的手串只有 种，只能分类去数。
练一练
食堂的套餐要从 种主食、 种汤、 种水果里各选一样。一共能配出多少种套餐？
支球队进行单循环赛（每两队之间恰好比一场）。一共要比多少场？
横 格、竖 格的街区，从左下角 A 走到右上角 B，只能向右或向上。路口 在施工，不能经过。有多少条路线？
中，既不是 的倍数、也不是 的倍数的数有多少个？
用数字 组成没有重复数字的三位偶数，一共有多少个？