实数集与复数集内的分解

观察

$n = 4$ ，有理数范围： $x^{4} - 1$ 分成 $3$ 个因式，其中 $x^{2} + 1$ 是二次的。图上它管着上下两个根 $i$ 和 $- i$ 。
换到实数范围：还是 $3$ 个。 $x^{2} + 1$ 的两个根不在实轴上，实数帮不上忙。
换到复数范围： $x^{2} + 1$ 也裂开了，一共 $4$ 个一次因式，一个根一个。
把 $n$ 调到 $8$ 。有理数范围里有一个四次因式 $x^{4} + 1$ ；到实数范围，它分成了两个二次式，系数里出现了 $2$ 。看图：每个二次式管着关于实轴对称的一对根。

三句话总结：

对二次式 $a x^{2} + b x + c$ （有理系数），看判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 就够了：

$Δ$	有理数范围	实数范围	复数范围
是有理数的平方	能分	能分	能分
是正数，但不是有理数的平方	不能	能分	能分
是负数	不能	不能	能分

先猜后证

$x^{2} - 2$ 至少要在哪个范围内才能分解？

有理数范围就可以要到实数范围要到复数范围

先选定答案，才能看到结论。

为什么不在实轴上的根，总是成对地合成一个实系数二次式？

设 $ω$ 是单位圆上的一个根，它和实轴正方向的夹角是 $θ$ 。它关于实轴的镜像记作 $\overset{ω}{ˉ}$ （共轭）。两个一次因式乘起来：

(x - ω) (x - \overset{ω}{ˉ}) = x^{2} - (ω + \overset{ω}{ˉ}) x + ω \overset{ω}{ˉ} = x^{2} - 2 cos θ x + 1 .

$ω + \overset{ω}{ˉ}$ 里虚部正好抵消， $ω \overset{ω}{ˉ}$ 是到原点距离的平方。两个系数都是实数。

第 1 / 5 步

有理数范围
$x^{8} - 1 = (x^{4} - 1) (x^{4} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)$ 。四个因式； $x^{4} + 1$ 管着四个“斜方向”的根。

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)$
换到实数范围
这其实是添项
实数到头了
复数范围

Break it

结论： $x^{2} + 1$ 不能再分

在实数范围内， $x^{4} - 1$ 里的 $x^{2} + 1$ 是一个整体：它的两个根 $\pm i$ 只能绑在一起。

练习 1基础

在实数范围内把 $x^{4} - 9$ 分解到底，结果里有几个一次因式？

练习 2基础

在复数范围内把 $x^{6} - 1$ 分解到底，一共有几个因式？

练习 3提高

在实数范围内把 $x^{6} - 1$ 分解到底，一共有几个因式？

练习 4挑战

在实数范围内， $x^{4} + 1 = (x^{2} + a x + 1) (x^{2} - a x + 1)$ ，其中 $a > 0$ 。求 $a^{2}$ 。