既约多项式

观察

$s = 0$ 时， $f (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ 的系数全是 $1$ 。没有素数能整除 $1$ ，判别法无从下手。
把 $s$ 拖到 $1$ ：式子变成 $f (x + 1)$ ，系数是 $1, 5, 10, 10, 5$ 。选 $p = 5$ ，三个要求全部满足。
平移不会改变“能不能分解”：如果 $f (x) = g (x) h (x)$ ，那么 $f (x + 1) = g (x + 1) h (x + 1)$ ，反过来也一样。所以 $f (x + 1)$ 既约， $f (x)$ 就既约。
点“问问内核”，让计算机直接分解 $f (x)$ ，核对一下。

既约多项式：在有理数范围内，不能写成两个次数更低的多项式之积。它相当于整数里的素数。

判断一个数是不是素数，可以一个一个去试除。判断多项式是不是既约，却没有这么直接的办法——“我没分出来”不等于“它不能分”。艾森斯坦判别法提供了一种证明：

整系数多项式 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，如果存在素数 $p$ 使得 ① $p$ 不整除首项系数 $a_{n}$ ；② $p$ 整除其余所有系数；③ $p^{2}$ 不整除常数项 $a_{0}$ ，那么它在有理数范围内既约。

先猜后证

对 $x^{2} + 1$ ，任何素数 $p$ 都不满足判别法的条件。这说明 $x^{2} + 1$ 可约吗？

说明它可约不能说明，判别法只是充分条件

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

先试 p = 2
$2$ 整除 $0$ 、 $0$ 、 $6$ ，但不整除常数项 $3$ 。条件 ② 不满足，换一个。

$p = 2 : 2 ∤ 3$
再试 p = 3
为什么这就够了（一）
为什么这就够了（二）
矛盾

$x^{n} - 1$ 永远不是既约的（至少有因式 $x - 1$ ）。把它在有理数范围内分到底，得到的每个既约因式叫分圆多项式，记作 $Φ_{d}$ 。下图中，标着同一个数 $d$ 的根属于同一个因式 $Φ_{d}$ 。

拖动

n

。根上标的数

d

有哪些？它们和

n

是什么关系？

先猜后证

$x^{12} - 1$ 在有理数范围内分解到底，一共有几个因式？

个

先选定答案，才能看到结论。

判别法的第 ③ 条看起来最不起眼，去掉它试试。

Break it

结论：满足 ①② 的多项式既约

$x^{2} + 4 x + 2$ ，取 $p = 2$ ：三条都满足，它既约。点“问问内核”核对。

练习 1基础

用艾森斯坦判别法证明 $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$ 既约，应该取哪个素数 $p$ ？

练习 2基础

$x^{6} - 1$ 在有理数范围内分解到底，一共有几个因式？

练习 3提高

$x^{4} + x^{2} + 1$ 没有有理根。它既约吗？如果不是，把它分解出来。

练习 4挑战

$x^{4} + 4$ 、 $x^{4} + 2$ 、 $x^{4} + 1$ 、 $x^{4} - 1$ 这四个多项式中，在有理数范围内既约的有几个？