自由实验室

模运算实验室

自己选一个模：把整数放上拨盘，一步一步走；再翻开加法表、乘法表和乘方表找规律。

余数拨盘

一圈有 m 格。任何整数放上去，都落在它除以 m 的余数那一格。选“每步 + s”或“每步 × s”，一步一步走，看足迹会不会走遍所有格子。

试试看：m = 12 时，哪些 s 用“+ s”能走遍 12 格？它们和 12 有什么关系？换成“× s”，从 1 出发，m = 7、s = 3 能走到几个格子？m = 8 呢？

余数表

三张表，随便换模。乘法表里什么时候会在“里面”出现 0？乘方表的 n² 那一列，哪些余数永远不出现？

试试看：把模调成 8，看乘方表的 n² 列——平方数除以 8 只能余几？再调成 3、4、5、9、16，各记一笔。这些“不可能的余数”，就是证明“方程没有整数解”时最常用的武器。

选一个模，看方程还活着吗

左边能取到的余数，如果永远碰不到右边的余数，方程就没有整数解。